Um fio linear de 10 cm de comprimento é paralelo ao eixo times e conduz uma corrente de 2 A na direção +x. A força neste fio devido à presença de um campo magnético B é F=(3 N) jmath+(2 N) k. Se este fio é girado até ficar paralelo ao eixo y com a corrente na direção + y, a força no fio torna-se F=-(3 N) imath-(2 N) k. Determine o vetor campo magnético B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio que carrega uma corrente elétrica e está sujeito a uma força devido a um campo magnético. A gente vai usar o conteúdo de Força Magnética em Fios Condutores, que está na física. Precisamos saber a fórmula que relaciona a força, a corrente, o comprimento do fio e o campo magnético para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força magnética em um fio:
F = I cdot L times B
Onde:
  • é a força magnética,
  • é a corrente no fio,
  • é o vetor comprimento do fio (direção e sentido do fio),
  • é o campo magnético,
  • indica o produto vetorial.

Passo 3

Vamos considerar a primeira situação, onde o fio está paralelo ao eixo L = 0,10 , imath , m e a corrente está na direção F1 = 3 , jmath + 2 , k , N . O comprimento do fio é 10 cm, ou seja, . Então, o vetor comprimento é:
A corrente é .
A força dada é:

Passo 4

Usando a fórmula da força magnética, temos:
F1 = I cdot L times B
Substituindo os valores:
3 , jmath + 2 , k = 2 cdot (0,10 , imath) times B
Simplificando:
3 , jmath + 2 , k = 0,20 , imath times B

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda situação, onde o fio está paralelo ao eixo L' = 0,10 , jmath , m e a corrente está na direção F2 = -3 , imath - 2 , k , N . O vetor comprimento agora é:
F2 = I cdot L' times B
A força dada é:
-3 , imath - 2 , k = 2 cdot (0,10 , jmath) times B
Aplicando a fórmula:
-3 , imath - 2 , k = 0,20 , jmath times B
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos duas equações vetoriais:
3 , jmath + 2 , k = 0,20 , imath times B (1)
-3 , imath - 2 , k = 0,20 , jmath times B (2)
Vamos chamar o campo magnético de:
B = Bx , imath + By , jmath + Bz , k

Passo 7

Vamos calcular os produtos vetoriais:
Para a equação (1):
imath times B = imath times (Bx , imath + By , jmath + Bz , k) = 0 , imath + Bz , jmath - By , k
Então:
3 , jmath + 2 , k = 0,20 (Bz , jmath - By , k)
Isso nos dá:
3 = 0,20 Bz e 2 = -0,20 By

Passo 8

Resolvendo para Bz = 30,20 = 15 , T e By = -20,20 = -10 , T :

Passo 9

Agora, vamos usar a equação (2):
jmath times B = jmath times (Bx , imath + By , jmath + Bz , k) = -Bz , imath + 0 , jmath + Bx , k
Então:
-3 , imath - 2 , k = 0,20 (-Bz , imath + Bx , k)
Isso nos dá:
-3 = -0,20 Bz e -2 = 0,20 Bx

Passo 10

Já sabemos que -3 = -0,20 times 15 Rightarrow -3 = -3 (confere) . Verificando:
Bx = -20,20 = -10 , T
Agora, resolvendo para :

Resposta

O vetor campo magnético é:
B = -10 , imath -10 , jmath +15 , k , T

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