Na física mecânica um dos assuntos abordados em cinemática é a equação horária das posições e da velocidade de um dado móvel. Instantaneamente, a velocidade é obtida derivando a expressão das posições, bem como a aceleração provém da derivada da função da velocidade. O oposto também é válido, uma vez que o caminho contrário a derivada é a integral de uma função. Assim, integrando a aceleração, encontramos a velocidade e integrando a velocidade, achamos a posição. Portanto, suponha a função horária da velocidade: v(t) = 5t - 2
a) Determine a expressão da função horária das posições.
b) Encontre a aceleração instantânea.
a) Determine a expressão da função horária das posições.
b) Encontre a aceleração instantânea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática na física mecânica! A gente precisa trabalhar com equações horárias de posição, velocidade e aceleração. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas e integrais. No caso, temos a função da velocidade em função do tempo: $ v(t) = 5t - 2 $. Vamos usar integrais para encontrar a posição e derivadas para encontrar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a posição $ s(t) $ é a integral da velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo. Isso significa que para encontrar $ s(t) $, precisamos integrar $ v(t) = 5t - 2 $.
A integral de uma função é basicamente encontrar uma função cuja derivada seja a função original. A fórmula geral para a integral de $ at + b $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função $ v(t) = 5t - 2 $:
Essa expressão representa a posição em função do tempo. Para determinar o valor de $ C $, precisaríamos de uma condição inicial, como a posição no tempo $ t = 0 $. Mas como não foi dada, deixamos $ C $ como constante.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração instantânea $ a(t) $. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
A função da velocidade é $ v(t) = 5t - 2 $. Vamos derivar essa função.
Passo 5
Calculando a derivada:
Isso significa que a aceleração é constante e igual a 5 m/s².
Resposta
a) A função horária das posições é $ s(t) = \frac{5}{2}t^2 - 2t + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
b) A aceleração instantânea é $ a(t) = 5 $ m/s².