Determine o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores u=(2,1) e v=(1,a).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, $ \mathbf{u} = (2, 1) $ e $ \mathbf{v} = (1, a) $. Queremos descobrir o valor de $ a $ que faz o ângulo entre esses vetores ser de 45 graus. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e magnitudes de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ e $ \mathbf{v} = (v_1, v_2) $, o produto escalar é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $. A magnitude de um vetor $ \mathbf{w} = (w_1, w_2) $ é:
Então, para $ \mathbf{u} $:
E para $ \mathbf{v} $:
Passo 4
Sabemos que a fórmula do cosseno do ângulo $ \theta $ entre dois vetores é:
Como queremos que $ \theta = 45^\circ $, sabemos que:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar $ a $. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por $ \sqrt{5} \times \sqrt{1 + a^2} $:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, vamos isolar $ \sqrt{1 + a^2} $:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 10 para simplificar:
Passo 6
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Passo 7
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 3 $, $ b = -8 $ e $ c = -3 $:
Passo 8
Isso nos dá duas soluções possíveis:
ou
Resposta
Os valores de $ a $ que fazem o ângulo entre os vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ ser de 45 graus são $ a = 3 $ e $ a = -\frac{1}{3} $.