Determine o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores u=(2,1) e v=(1,a).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, $ \mathbf{u} = (2, 1) $ e $ \mathbf{v} = (1, a) $. Queremos descobrir o valor de $ a $ que faz o ângulo entre esses vetores ser de 45 graus. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e magnitudes de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ e $ \mathbf{v} = (v_1, v_2) $, o produto escalar é dado por:
u = (u1, u2)
Aplicando isso aos nossos vetores:
v = (v1, v2)

Passo 3

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $. A magnitude de um vetor $ \mathbf{w} = (w_1, w_2) $ é:
u
Então, para $ \mathbf{u} $:
v
E para $ \mathbf{v} $:
w = (w1, w2)

Passo 4

Sabemos que a fórmula do cosseno do ângulo $ \theta $ entre dois vetores é:
theta
Como queremos que $ \theta = 45^\circ $, sabemos que:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Então, substituindo na fórmula:
theta = 45^circ

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar $ a $. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por $ \sqrt{5} \times \sqrt{1 + a^2} $:
a
Simplificando o lado esquerdo:
raiz5 times raiz1 + a^2
Agora, vamos isolar $ \sqrt{1 + a^2} $:
raiz22 times raiz5 times raiz1 + a^2 = 2 + a
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
raiz102 times raiz1 + a^2 = 2 + a
raiz1 + a^2
Multiplicando ambos os lados por 10 para simplificar:
raiz1 + a^2 = 2(2 + a)raiz10
1 + a^2 = ( 2(2 + a)raiz10 )^2
1 + a^2 = 4(2 + a)^210

Passo 6

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
10a^2 - 4a^2 - 16a + 10 - 16 = 0
6a^2 - 16a - 6 = 0
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
3a^2 - 8a - 3 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 3 $, $ b = -8 $ e $ c = -3 $:
a = 3
b = -8
c = -3
a = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 times 3 times (-3)2 times 3

Passo 8

Isso nos dá duas soluções possíveis:
a = 8 + 106 = 186 = 3
ou
a = 8 - 106 = -26 = -13

Resposta

Os valores de $ a $ que fazem o ângulo entre os vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ ser de 45 graus são $ a = 3 $ e $ a = -\frac{1}{3} $.

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