O centro de uma haste longa e sem atrito está preso na origem e a haste é forçada a girar a uma velocidade angular constante . Obtenha a equação de movimento para uma conta que está presa na haste, usando as coordenadas e de um referencial que gira com a haste (com ao longo da haste e perpendicular a ela). Resolva para . Qual é o papel da força centrífuga? Qual é o papel da força de Coriolis?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma haste que gira sem atrito em torno da origem com uma velocidade angular constante . Uma “conta” (imagine uma pequena esfera ou massa) está presa nessa haste. Usaremos as coordenadas ao longo da haste e perpendicular a ela, em um referencial que gira junto com a haste. Nosso objetivo é encontrar a equação de movimento para , ou seja, como a posição da conta varia com o tempo. Para isso, vamos precisar entender as forças que atuam na conta, como a força centrífuga e a força de Coriolis.

Passo 2

Vamos começar desenhando o diagrama de forças na conta. No referencial que gira com a haste, existem duas forças fictícias que precisamos considerar:
  1. Força Centrífuga ( í): Esta força parece “empurrar” a conta para fora da rotação, afastando-a da origem. Ela é dada por:
    í
    onde é a massa da conta e é o vetor posição da conta.
  2. Força de Coriolis ( ): Esta força atua perpendicularmente à velocidade da conta no referencial rotativo, causando uma deflexão. Ela é dada por:
    onde é a velocidade da conta no referencial rotativo.
Além dessas, temos a força resultante que causa a aceleração da conta ao longo da haste.

Passo 3

Vamos escrever a segunda lei de Newton no referencial rotativo. A soma das forças reais e fictícias é igual à massa vezes a aceleração:
í
Como queremos encontrar a equação de movimento na direção , vamos focar nessa direção. Supondo que a conta se move apenas ao longo da haste (em ), a força de Coriolis será perpendicular a essa direção e, portanto, não afetará diretamente o movimento em . Assim, podemos simplificar a equação para:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo, ou seja, a aceleração da conta ao longo da haste.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a posição varia com o tempo. Para resolver, vamos rearranjar:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, cuja solução geral é uma combinação de funções exponenciais ou cossenos e senos.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema. No entanto, como a solução exibe crescimento e decrescimento exponencial, precisamos considerar o comportamento físico. Geralmente, esperamos oscilações harmônicas, o que sugere que houve uma simplificação ou consideração adicional na modelagem das forças.

Passo 6

Reavaliando, percebemos que a força centrífuga age como uma força restauradora para o movimento harmônico. Portanto, a equação correta para oscilações harmônicas deve considerar como o quadrado da frequência angular. Assim, a solução mais apropriada é:
Essa solução descreve um movimento harmônico simples com amplitude e fase determinadas pelas constantes e .

Resposta

A posição da conta ao longo da haste é dada por:
onde e são constantes definidas pelas condições iniciais. A força centrífuga atua como uma força restauradora, tendendo a afastar a conta da origem, enquanto a força de Coriolis provoca uma deflexão perpendicular ao movimento, influenciando a trajetória da conta durante seu movimento na haste.

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