(a) Explique a relação (9.30) entre as derivadas de um vetor em dois referenciais e para o caso especial em que está fixo no referencial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar a relação (9.30) que liga as derivadas de um vetor em dois referenciais diferentes: e . A situação especial é que o vetor está fixo no referencial . Vamos usar conceitos de mecânica vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um vetor estar fixo em um referencial. Se está fixo em , isso quer dizer que, no referencial , o vetor não muda com o tempo. Matemáticamente, a derivada temporal de em é zero:

Passo 3

Agora, vamos considerar a relação entre as derivadas do vetor nos dois referenciais e . Geralmente, essa relação leva em conta a rotação relativa entre os referenciais. A relação (9.30) pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, é a velocidade angular do referencial em relação a , e representa o produto vetorial.

Passo 4

Como já sabemos que (porque está fixo em ), podemos simplificar a equação:

Passo 5

Então, a derivada de no referencial depende da velocidade angular entre os dois referenciais e do próprio vetor . Isso significa que, mesmo que não mude em , ela pode parecer mudar em devido à rotação relativa.

Resposta

A relação (9.30) mostra que, quando o vetor está fixo no referencial , sua derivada no referencial é igual ao produto vetorial da velocidade angular de em relação a com o próprio vetor . Em fórmula:

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