(a) Explique a relação (9.30) entre as derivadas de um vetor
em dois referenciais
e
para o caso especial em que
está fixo no referencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar a relação (9.30) que liga as derivadas de um vetor
em dois referenciais diferentes:
e
. A situação especial é que o vetor
está fixo no referencial
. Vamos usar conceitos de mecânica vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um vetor estar fixo em um referencial. Se
está fixo em
, isso quer dizer que, no referencial
, o vetor não muda com o tempo. Matemáticamente, a derivada temporal de
em
é zero:
Passo 3
Agora, vamos considerar a relação entre as derivadas do vetor
nos dois referenciais
e
. Geralmente, essa relação leva em conta a rotação relativa entre os referenciais. A relação (9.30) pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui,
é a velocidade angular do referencial
em relação a
, e
representa o produto vetorial.
Passo 4
Como já sabemos que
(porque
está fixo em
), podemos simplificar a equação:
Passo 5
Então, a derivada de
no referencial
depende da velocidade angular entre os dois referenciais e do próprio vetor
. Isso significa que, mesmo que
não mude em
, ela pode parecer mudar em
devido à rotação relativa.
Resposta
A relação (9.30) mostra que, quando o vetor
está fixo no referencial
, sua derivada no referencial
é igual ao produto vetorial da velocidade angular
de
em relação a
com o próprio vetor
. Em fórmula: