Em um certo planeta, que tem uma simetria perfeitamente esférica, a aceleração de queda livre tem magnitude
no Polo Norte e
no equador (
). Determine
, a aceleração de queda livre na colatitude
como função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um planeta esférico onde a gravidade varia dependendo de onde você está nele. No Polo Norte, a aceleração da gravidade é
e no Equador é
, onde
. Nosso objetivo aqui é descobrir como essa gravidade muda conforme você se move para diferentes latitudes, ou seja, encontrar uma fórmula para
, onde
é a colatitude (a distância angular a partir do Polo Norte). Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como a gravidade varia com o ângulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é colatitude. A colatitude
é o ângulo entre o eixo do planeta (que vai do Polo Norte ao Polo Sul) e a posição onde estamos medindo a gravidade. No Polo Norte,
e no Equador,
radianos.
Passo 3
Sabemos que a gravidade no Polo Norte é
e no Equador é
. Queremos encontrar uma expressão que descreva
para qualquer
. Vamos supor que essa variação seja uma combinação linear de duas partes: uma que não depende de
e outra que depende do cosseno de
. Assim, podemos escrever:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos usar as condições que já conhecemos para encontrar
e
. No Polo Norte (
):
No Equador (
):
Passo 5
Com essas duas equações, podemos resolver para
e
:
Substituindo o valor de
da segunda equação na primeira:
Passo 6
Agora que sabemos
e
, podemos substituir de volta na expressão original para
:
Resposta
A aceleração de queda livre na colatitude
é dada por: