Em um certo planeta, que tem uma simetria perfeitamente esférica, a aceleração de queda livre tem magnitude no Polo Norte e no equador ( ). Determine , a aceleração de queda livre na colatitude como função de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um planeta esférico onde a gravidade varia dependendo de onde você está nele. No Polo Norte, a aceleração da gravidade é e no Equador é , onde . Nosso objetivo aqui é descobrir como essa gravidade muda conforme você se move para diferentes latitudes, ou seja, encontrar uma fórmula para , onde é a colatitude (a distância angular a partir do Polo Norte). Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como a gravidade varia com o ângulo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é colatitude. A colatitude é o ângulo entre o eixo do planeta (que vai do Polo Norte ao Polo Sul) e a posição onde estamos medindo a gravidade. No Polo Norte, e no Equador, radianos.

Passo 3

Sabemos que a gravidade no Polo Norte é e no Equador é . Queremos encontrar uma expressão que descreva para qualquer . Vamos supor que essa variação seja uma combinação linear de duas partes: uma que não depende de e outra que depende do cosseno de . Assim, podemos escrever:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos usar as condições que já conhecemos para encontrar e . No Polo Norte ( ):
No Equador ( ):

Passo 5

Com essas duas equações, podemos resolver para e :
Substituindo o valor de da segunda equação na primeira:

Passo 6

Agora que sabemos e , podemos substituir de volta na expressão original para :

Resposta

A aceleração de queda livre na colatitude é dada por:

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