Um corpo de massa
é lançado verticalmente da superfície da Terra com velocidade
. Sendo
a massa da Terra e
seu raio, (A) use o princípio do trabalho-energia e o resultado do Exercício-exemplo 7.6 (Equação 7.20) e determine a energia cinética do corpo quando a sua distância ao centro da Terra for
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um corpo de massa
que é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial
. Queremos descobrir qual será a energia cinética desse corpo quando ele estiver a uma distância
do centro da Terra. Para resolver isso, vamos usar o princípio do trabalho-energia e uma equação específica do exercício-exemplo 7.6.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o princípio do trabalho-energia, que nos diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é o trabalho total realizado,
é a energia cinética final e
é a energia cinética inicial.
Passo 3
No nosso caso, o trabalho realizado é pelo campo gravitacional da Terra. A energia potencial gravitacional em uma distância
do centro da Terra é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é a massa do corpo, -
é a distância ao centro da Terra.
Passo 4
A variação da energia potencial gravitacional quando o corpo se move da superfície da Terra (
) para uma distância
é:
Passo 5
Aplicando o princípio do trabalho-energia:
Isso nos leva a:
Passo 6
A energia cinética inicial
é:
Substituindo na equação anterior:
Passo 7
Simplificando, a energia cinética do corpo quando está a uma distância
do centro da Terra é:
Resposta
A energia cinética do corpo a uma distância
do centro da Terra é: