Um corpo de massa é lançado verticalmente da superfície da Terra com velocidade . Sendo a massa da Terra e seu raio, (A) use o princípio do trabalho-energia e o resultado do Exercício-exemplo 7.6 (Equação 7.20) e determine a energia cinética do corpo quando a sua distância ao centro da Terra for

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um corpo de massa que é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial . Queremos descobrir qual será a energia cinética desse corpo quando ele estiver a uma distância do centro da Terra. Para resolver isso, vamos usar o princípio do trabalho-energia e uma equação específica do exercício-exemplo 7.6.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o princípio do trabalho-energia, que nos diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é o trabalho total realizado, é a energia cinética final e é a energia cinética inicial.

Passo 3

No nosso caso, o trabalho realizado é pelo campo gravitacional da Terra. A energia potencial gravitacional em uma distância do centro da Terra é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra,
  • é a massa do corpo,
  • é a distância ao centro da Terra.

Passo 4

A variação da energia potencial gravitacional quando o corpo se move da superfície da Terra ( ) para uma distância é:

Passo 5

Aplicando o princípio do trabalho-energia:
Isso nos leva a:

Passo 6

A energia cinética inicial é:
Substituindo na equação anterior:

Passo 7

Simplificando, a energia cinética do corpo quando está a uma distância do centro da Terra é:

Resposta

A energia cinética do corpo a uma distância do centro da Terra é:

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