Um fio de aço de 1 mm de diâmetro pode suportar uma tração de . Um cabo de aço para suportar uma tração de 20 kN deve ter diâmetro de que ordem de grandeza?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema diz que um fio de aço com diâmetro de 1 mm suporta uma tração de . A gente precisa descobrir qual deve ser o diâmetro de um cabo de aço para suportar uma tração de . Vamos usar conceitos de força tensional e área da seção transversal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força que um fio ou cabo pode suportar está relacionada à área da sua seção transversal. A fórmula básica que conecta força ( ), tensão ( ) e área ( ) é:
Nesse caso, como estamos comparando dois fios de aço feitos do mesmo material, a tensão máxima ( ) que cada um pode suportar é a mesma. Então, a relação entre as forças será proporcional às áreas das seções transversais.

Passo 3

A área da seção transversal de um fio circular é dada por:
Onde é o diâmetro do fio. Isso significa que a força que o fio pode suportar é proporcional ao quadrado do diâmetro.

Passo 4

Vamos chamar o diâmetro do cabo que queremos encontrar de . Sabemos que:
Substituindo a área pela fórmula em termos de diâmetro:
Simplificando os termos comuns:

Passo 5

Agora, para encontrar , tiramos a raiz quadrada de 100:

Resposta

O cabo de aço precisa ter um diâmetro de aproximadamente 10 mm para suportar uma tração de .

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