Em uma floresta vivem uma quantidade aleatória de renas: 5 renas com probabilidade 1 / 2 e 10 renas com probabilidade 1/2. 2 renas são capturadas, marcadas e então soltas. Certo tempo depois, 2 renas são capturadas, sendo que exatamente uma delas está marcada. Qual é a probabilidade condicional de que vivam 10 renas na floresta? Agora, suponha que exista 10 renas na população e duas delas estão marcadas, se tiramos uma sem reposição, vemos que ela está marcada, e tiramos outra e vemos que não está, esse evento é independente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve probabilidade condicional. O enunciado fala sobre uma floresta com uma quantidade aleatória de renas: pode ter 5 renas com probabilidade 1/2 ou 10 renas também com probabilidade 1/2. Primeiramente, duas renas são capturadas, marcadas e soltas de volta. Depois, capturamos mais duas renas e descobrimos que exatamente uma delas está marcada. Queremos saber qual é a probabilidade de que existam 10 renas na floresta, dado esse resultado. Além disso, vamos verificar se certos eventos são independentes quando sabemos que há 10 renas na população. Para resolver isso, vamos precisar usar a probabilidade condicional e o teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos começar entendendo a probabilidade condicional. A fórmula básica é:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Aqui, é a probabilidade que queremos encontrar: a probabilidade de terem 10 renas dado que capturamos exatamente uma marcada.

Passo 3

Primeiro, identificamos os eventos:
  • P(A) = P(A') = 12 : Existirem 10 renas na floresta.
  • : Existirem 5 renas na floresta.
  • : Capturamos exatamente uma rena marcada na segunda captura.
Sabemos que:

Passo 4

Vamos calcular P(B|A) = binom21 cdot binom81binom102 = 2 cdot 845 = 1645 , a probabilidade de capturar exatamente uma rena marcada dado que há 10 renas na floresta.
Sabemos que 2 renas estão marcadas em uma população de 10. A probabilidade de capturar exatamente uma marcada em 2 tentativas sem reposição é dada por:
Aqui, representa combinações, ou seja, quantas maneiras de escolher itens de um conjunto de .

Passo 5

Agora, calculamos P(B|A') = binom21 cdot binom31binom52 = 2 cdot 310 = 610 = 35 , a probabilidade de capturar exatamente uma rena marcada dado que há 5 renas na floresta.
Com 2 renas marcadas em 5, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular P(B) = P(B|A) cdot P(A) + P(B|A') cdot P(A') = 1645 cdot 12 + 35 cdot 12 = 1690 + 2790 = 4390 , que é a probabilidade total de capturar exatamente uma rena marcada, considerando ambas as possibilidades de população.

Passo 7

Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B) = 1645 cdot 124390 = 16904390 = 1643 :

Passo 8

Agora, para a segunda parte da questão: se temos 10 renas na população com 2 marcadas, e capturamos duas sem reposição, onde a primeira está marcada e a segunda não, queremos saber se esses eventos são independentes.
Eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Vamos verificar isso.

Passo 9

Primeiro, calculamos a probabilidade de a primeira rena ser marcada:
P(A) = 210 = 15
Depois que capturamos uma rena marcada, restam 9 renas, sendo 1 marcada e 8 não marcadas. A probabilidade de a segunda rena não estar marcada é:
P(B|A) = 89
Se os eventos fossem independentes, P(B) = 810 = 45 teria que ser igual a , a probabilidade de tirar uma rena não marcada independentemente do primeiro evento.

Passo 10

Comparando 89 neq 45 com :
Como as probabilidades são diferentes, os eventos não são independentes.

Resposta

A probabilidade de que existam 10 renas na floresta, dado que capturamos exatamente uma rena marcada na segunda captura, é . Além disso, os eventos de tirar uma rena marcada primeiro e uma não marcada depois não são independentes.

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