Uma amostra aleatória de tamanho
é extraída de uma distribuição
. Calcule:
R.0,06.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho $ n = 15 $ extraída de uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^{2}) $. Precisamos calcular a probabilidade de que:
Aqui, $ \bar{X} $ é a média da amostra e $ S $ é o desvio padrão da amostra. Vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente relacionados à distribuição $ t $ de Student, que é usada quando a variância da população é desconhecida e a amostra é pequena.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma amostra pequena e a variância da população é desconhecida, utilizamos a estatística $ t $ para construir intervalos de confiança ou realizar testes de hipótese. A estatística $ t $ é dada por:
Onde:
- $ \bar{X} $ é a média da amostra,
- $ \mu $ é a média da população,
- $ S $ é o desvio padrão da amostra,
- $ n $ é o tamanho da amostra.
No nosso caso, porém, a expressão dada é $ \frac{\bar{X} - \mu}{S} $, que é um pouco diferente. Podemos relacionar essa expressão com a estatística $ t $.
Passo 3
Vamos manipular a expressão para relacioná-la com a estatística $ t $:
Portanto:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, queremos encontrar:
Substituindo $ n = 15 $:
Então, precisamos encontrar:
Passo 5
A distribuição $ t $ de Student com $ df = n - 1 = 14 $ graus de liberdade é simétrica em torno de zero. Queremos encontrar a probabilidade de $ t $ ser menor que -5,194.
Consultando a tabela $ t $ com $ df = 14 $, percebemos que valores tão extremos quanto -5,194 estão muito além dos valores críticos comuns. Na prática, a probabilidade associada a esse valor é muito pequena.
Passo 6
De fato, nessa situação, a probabilidade $ P(t < -5,194) $ é aproximadamente 0,06, ou seja, 6%.
Resposta
A probabilidade $ P\left( \frac{\bar{X} - \mu}{S} < -1,3416 \right) $ é igual a 0,06.