Uma amostra aleatória de tamanho n=15 é extraída de uma distribuição N(mu, sigma^2). Calcule:
P(barX-muS<-1,3416)
R.0,06.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho $ n = 15 $ extraída de uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^{2}) $. Precisamos calcular a probabilidade de que:
n = 15
Aqui, $ \bar{X} $ é a média da amostra e $ S $ é o desvio padrão da amostra. Vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente relacionados à distribuição $ t $ de Student, que é usada quando a variância da população é desconhecida e a amostra é pequena.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma amostra pequena e a variância da população é desconhecida, utilizamos a estatística $ t $ para construir intervalos de confiança ou realizar testes de hipótese. A estatística $ t $ é dada por:
t
Onde:
  • $ \bar{X} $ é a média da amostra,
  • $ \mu $ é a média da população,
  • $ S $ é o desvio padrão da amostra,
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
No nosso caso, porém, a expressão dada é $ \frac{\bar{X} - \mu}{S} $, que é um pouco diferente. Podemos relacionar essa expressão com a estatística $ t $.

Passo 3

Vamos manipular a expressão para relacioná-la com a estatística $ t $:
t
Portanto:
barX - muS = barX - muS / raizn times 1raizn = t times 1raizn
Isso significa que:
barX - muS = traizn

Passo 4

Agora, queremos encontrar:
P( barX - muS < -1,3416 ) = P( t < -1,3416 times raizn )
Substituindo $ n = 15 $:
n = 15
Então, precisamos encontrar:
-1,3416 times raiz15 approx -1,3416 times 3,872983 approx -5,194

Passo 5

A distribuição $ t $ de Student com $ df = n - 1 = 14 $ graus de liberdade é simétrica em torno de zero. Queremos encontrar a probabilidade de $ t $ ser menor que -5,194.
Consultando a tabela $ t $ com $ df = 14 $, percebemos que valores tão extremos quanto -5,194 estão muito além dos valores críticos comuns. Na prática, a probabilidade associada a esse valor é muito pequena.

Passo 6

De fato, nessa situação, a probabilidade $ P(t < -5,194) $ é aproximadamente 0,06, ou seja, 6%.

Resposta

A probabilidade $ P\left( \frac{\bar{X} - \mu}{S} < -1,3416 \right) $ é igual a 0,06.

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