Um dado com uma face azul e cinco faces vermelhas é lançado duas vezes. Esse procedimento é repetido até que pela primeira vez ocorram duas faces de cores diferentes. Calcule a probabilidade de que o último lançamento do dado resulte numa face azul.

Passo 1

Vamos entender o que a questão nos pede. Temos um dado que tem uma face azul e cinco faces vermelhas. Esse dado é lançado duas vezes, e esse procedimento é repetido até que, pela primeira vez, as duas faces lançadas tenham cores diferentes. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que o último lançamento resulte em uma face azul. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como eventos independentes e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de obter uma face azul ou vermelha em um único lançamento do dado. Como há uma face azul e cinco vermelhas:
  • Probabilidade de sair azul ( P(A)): 16
  • Probabilidade de sair vermelha ( P(V)): 56

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece em cada procedimento de dois lançamentos:
  1. Ambas as faces são azuis:
    • Probabilidade: P(A) times P(A) = 16 times 16 = 136
  2. Ambas as faces são vermelhas:
    • Probabilidade: P(V) times P(V) = 56 times 56 = 2536
  3. As faces têm cores diferentes:
    • Pode acontecer de azul seguido de vermelho ou vermelho seguido de azul.
    • Probabilidade: P(A) times P(V) + P(V) times P(A) = 16 times 56 + 56 times 16 = 536 + 536 = 1036 = 518

Passo 4

A questão diz que repetimos o procedimento até a primeira vez que as duas cores sejam diferentes. Isso significa que estamos interessados na primeira ocorrência do terceiro caso acima, onde as cores são diferentes.
Queremos saber a probabilidade de que, nesse último lançamento, a face seja azul. Ou seja, dentro das situações onde as cores são diferentes, qual a probabilidade de a segunda face ser azul.

Passo 5

Vamos analisar as duas possibilidades onde as cores são diferentes:
  1. Primeiro azul, segundo vermelho:
    • Probabilidade: P(A) times P(V) = 16 times 56 = 536
  2. Primeiro vermelho, segundo azul:
    • Probabilidade: P(V) times P(A) = 56 times 16 = 536

Passo 6

Das duas situações acima, queremos a que a segunda face seja azul, ou seja, o segundo caso. A probabilidade disso ocorrer é 536.
A probabilidade total de obter duas cores diferentes é 1036. Portanto, a probabilidade condicional de que a segunda face seja azul, dado que as cores são diferentes, é:
P(Segunda face azul mid Cores diferentes) = 5361036 = 510 = 12

Resposta

A probabilidade de que o último lançamento resulte numa face azul é 12.

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