Um dado com uma face azul e cinco faces vermelhas é lançado duas vezes. Esse procedimento é repetido até que pela primeira vez ocorram duas faces de cores diferentes. Calcule a probabilidade de que o último lançamento do dado resulte numa face azul.
Passo 1
Vamos entender o que a questão nos pede. Temos um dado que tem uma face azul e cinco faces vermelhas. Esse dado é lançado duas vezes, e esse procedimento é repetido até que, pela primeira vez, as duas faces lançadas tenham cores diferentes. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que o último lançamento resulte em uma face azul. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como eventos independentes e probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de obter uma face azul ou vermelha em um único lançamento do dado. Como há uma face azul e cinco vermelhas:
- Probabilidade de sair azul (
): - Probabilidade de sair vermelha (
):
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece em cada procedimento de dois lançamentos:
-
Ambas as faces são azuis:
- Probabilidade:
- Probabilidade:
-
Ambas as faces são vermelhas:
- Probabilidade:
- Probabilidade:
-
As faces têm cores diferentes:
- Pode acontecer de azul seguido de vermelho ou vermelho seguido de azul.
- Probabilidade:
Passo 4
A questão diz que repetimos o procedimento até a primeira vez que as duas cores sejam diferentes. Isso significa que estamos interessados na primeira ocorrência do terceiro caso acima, onde as cores são diferentes.
Queremos saber a probabilidade de que, nesse último lançamento, a face seja azul. Ou seja, dentro das situações onde as cores são diferentes, qual a probabilidade de a segunda face ser azul.
Passo 5
Vamos analisar as duas possibilidades onde as cores são diferentes:
-
Primeiro azul, segundo vermelho:
- Probabilidade:
- Probabilidade:
-
Primeiro vermelho, segundo azul:
- Probabilidade:
- Probabilidade:
Passo 6
Das duas situações acima, queremos a que a segunda face seja azul, ou seja, o segundo caso. A probabilidade disso ocorrer é
.
A probabilidade total de obter duas cores diferentes é
. Portanto, a probabilidade condicional de que a segunda face seja azul, dado que as cores são diferentes, é:
Resposta
A probabilidade de que o último lançamento resulte numa face azul é
.