Um fluido escoa numa tubulação de raio
em regime laminar, incompressível e permanente. A velocidade
é dada pela equação:
Onde R é a distãncia radial a partir do eixo central do tubo. Caso necessário, utilize
.
a) Determine a velocidade média em função da velocidade máxima;
b) Determine o fluxo de massa na tubulação, em função da massa específica, da velocidade máxima e da área da seção transversal;
c) Resolva os itens anteriores, utilizando agora os seguintes dados (massa específica
; velocidade máxima
; e
);
a) Determine a velocidade média em função da velocidade máxima;
b) Determine o fluxo de massa na tubulação, em função da massa específica, da velocidade máxima e da área da seção transversal;
c) Resolva os itens anteriores, utilizando agora os seguintes dados (massa específica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o escoamento de um fluido em uma tubulação. A gente vai trabalhar com conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente no regime laminar, que é quando o fluido flui de forma ordenada e suave. Precisamos calcular a velocidade média do fluido, o fluxo de massa e, depois, aplicar esses cálculos com os valores dados.
Passo 2
Vamos começar entendendo a equação da velocidade fornecida:
Aqui,
é a velocidade máxima no centro da tubulação,
é o raio da tubulação, e
é a distância radial a partir do eixo central. Essa equação nos mostra que a velocidade diminui à medida que nos afastamos do centro.
Passo 3
Item a: Determinar a velocidade média em função da velocidade máxima
A velocidade média (
) em uma seção transversal é a média de todas as velocidades naquele plano. Para calcular isso, precisamos integrar a velocidade em toda a área e então dividir pela área total.
A área de um anel com espessura
em raio
é
. Então, a velocidade média é:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da velocidade média:
Então, a velocidade média é metade da velocidade máxima.
Passo 6
Item b: Determinar o fluxo de massa na tubulação
O fluxo de massa (
) é dado por:
Onde
é a massa específica e
é o fluxo volumétrico. O fluxo volumétrico pode ser expresso como:
Substituindo
do item a:
Então, o fluxo de massa fica:
Passo 7
Item c: Resolver os itens anteriores com os dados fornecidos
Dados:
- Massa específica (
) = - Velocidade máxima (
) = - Raio (
) = =
Primeiro, calculamos a área da seção transversal:
Usando a expressão do fluxo de massa:
Resposta
a) A velocidade média é metade da velocidade máxima, ou seja,
.
b) O fluxo de massa na tubulação é
.
c) Com os dados fornecidos, o fluxo de massa é aproximadamente
.