Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar, incompressível e permanente. A velocidade V é dada pela equação:
V=Umax [1-(rR)^2] i
Onde R é a distãncia radial a partir do eixo central do tubo. Caso necessário, utilize g=10 m / s^2.
a) Determine a velocidade média em função da velocidade máxima;
b) Determine o fluxo de massa na tubulação, em função da massa específica, da velocidade máxima e da área da seção transversal;
c) Resolva os itens anteriores, utilizando agora os seguintes dados (massa específica =1000 kg / m^3; velocidade máxima =6 m / s; e R=15 cm );

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o escoamento de um fluido em uma tubulação. A gente vai trabalhar com conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente no regime laminar, que é quando o fluido flui de forma ordenada e suave. Precisamos calcular a velocidade média do fluido, o fluxo de massa e, depois, aplicar esses cálculos com os valores dados.

Passo 2

Vamos começar entendendo a equação da velocidade fornecida:
V = Umax [1 - (rR)^2] i
Aqui, Umax é a velocidade máxima no centro da tubulação, R é o raio da tubulação, e r é a distância radial a partir do eixo central. Essa equação nos mostra que a velocidade diminui à medida que nos afastamos do centro.

Passo 3

Item a: Determinar a velocidade média em função da velocidade máxima
A velocidade média ( Vmédiaé) em uma seção transversal é a média de todas as velocidades naquele plano. Para calcular isso, precisamos integrar a velocidade em toda a área e então dividir pela área total.
A área de um anel com espessura dr em raio r é dA = 2pi r dr. Então, a velocidade média é:
Vmédia = integral0^R V(r) cdot 2pi r drpi R^2 é
Substituindo V(r):
Vmédia = integral0^R Umax [1 - (rR)^2] cdot 2pi r drpi R^2 é

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral0^R [1 - (rR)^2] cdot r dr = integral0^R (r - r^3R^2) dr
Integrando termo a termo:
integral r dr = r^22 e integral r^3 dr = r^44
Aplicando os limites de 0 a R:
[R^22 - R^44R^2] = R^22 - R^24 = R^24

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da velocidade média:
Vmédia = Umax cdot 2pi cdot R^24pi R^2 = Umax cdot R^22R^2 = Umax2 é
Então, a velocidade média é metade da velocidade máxima.

Passo 6

Item b: Determinar o fluxo de massa na tubulação
O fluxo de massa ( dotm) é dado por:
dotm = rho cdot Q
Onde rho é a massa específica e Q é o fluxo volumétrico. O fluxo volumétrico pode ser expresso como:
Q = Vmédia cdot A é
Substituindo Vmédiaé do item a:
Q = Umax2 cdot A
Então, o fluxo de massa fica:
dotm = rho cdot Umax2 cdot A

Passo 7

Item c: Resolver os itens anteriores com os dados fornecidos
Dados:
  • Massa específica ( rho) = 1000 kg/m^3
  • Velocidade máxima ( Umax) = 6 m/s
  • Raio ( R) = 15 cm = 0,15 m
Primeiro, calculamos a área da seção transversal:
A = pi R^2 = pi (0,15)^2 = pi cdot 0,0225 approx 0,0707 m^2
Usando a expressão do fluxo de massa:
dotm = 1000 cdot 62 cdot 0,0707 = 1000 cdot 3 cdot 0,0707 approx 212,1 kg/s

Resposta

a) A velocidade média é metade da velocidade máxima, ou seja, Vmédia = Umax2é.
b) O fluxo de massa na tubulação é dotm = rho cdot Umax2 cdot A.
c) Com os dados fornecidos, o fluxo de massa é aproximadamente 212,1 kg/s.

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