Seja uma garrafa de refrigerante cilíndrica (
e d=8 cm) feita de polietileno tereftalato (PET) contendo uma bebida gaseificada com
(
,
). As paredes da garrafa têm uma espessura de 0,27 (μm) e a massa específica do PET é
. Uma vez que o
é parcialmente solúvel no PET, ocorre a difusão através das paredes ao longo do tempo (
).
Derive uma expressão para o fluxo de massa através das paredes da garrafa, nos casos a e b.
Derive uma expressão para o fluxo de massa através das paredes da garrafa, nos casos a e b.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma garrafa de refrigerante cilíndrica feita de PET com algumas medidas específicas. O conteúdo da matéria aqui é sobre difusão de gases em sólidos, mais especificamente, como o dióxido de carbono (CO₂) difunde através das paredes da garrafa ao longo do tempo.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar a Lei de Fick da Difusão, que nos ajuda a calcular o fluxo de massa de uma substância que está se movendo através de um material.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Comprimento (altura) da garrafa, L = 30 cm
- Diâmetro da garrafa, d = 8 cm
- Concentração de CO₂, C = 7 g de CO₂ / dm³
- Pressão, P = 3 bar
- Espessura da parede, x = 0,27 μm = 0,27 × 10⁻⁶ m
- Massa específica do PET,
= 1,5 g/cm³ - Coeficiente de difusão, D_{CO₂ PET} = 2 × 10⁻³ m²/s
Passo 3
Agora, vamos lembrar a Lei de Fick da Difusão, que é dada por:
Onde:
- $ J $ é o fluxo de massa (g/(cm²·s))
- $ D $ é o coeficiente de difusão (cm²/s)
- $ \frac{dC}{dx} $ é o gradiente de concentração
Como a concentração diminui linearmente através da espessura da parede, podemos simplificar para:
Passo 4
Precisamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Vamos trabalhar em unidades do SI:
- Espessura da parede, x = 0,27 μm = 0,27 × 10⁻⁶ m
- Concentração, C = 7 g/dm³ = 7 g/L = 7 × 10⁻³ g/cm³
- Coeficiente de difusão, D = 2 × 10⁻³ m²/s = 2 × 10⁴ cm²/s (já que 1 m² = 10⁴ cm²)
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula do fluxo de massa:
Substituindo:
Mas precisamos que todas as unidades estejam em cm, então convertendo x:
Passo 6
Substituindo novamente na fórmula:
Calculando o numerador e denominador:
Resposta
O fluxo de massa de CO₂ através das paredes da garrafa é aproximadamente
.