Seja uma garrafa de refrigerante cilíndrica ( L=30 cm e d=8 cm) feita de polietileno tereftalato (PET) contendo uma bebida gaseificada com CO2( C=7 g de CO2 / dm^3, P=3 bar). As paredes da garrafa têm uma espessura de 0,27 (μm) e a massa específica do PET é 1,5 (g/cm^3). Uma vez que o CO2 é parcialmente solúvel no PET, ocorre a difusão através das paredes ao longo do tempo ( DCO2 PET=2 times 10^-3 m^2 / s).
Derive uma expressão para o fluxo de massa através das paredes da garrafa, nos casos a e b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma garrafa de refrigerante cilíndrica feita de PET com algumas medidas específicas. O conteúdo da matéria aqui é sobre difusão de gases em sólidos, mais especificamente, como o dióxido de carbono (CO₂) difunde através das paredes da garrafa ao longo do tempo.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar a Lei de Fick da Difusão, que nos ajuda a calcular o fluxo de massa de uma substância que está se movendo através de um material.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Comprimento (altura) da garrafa, L = 30 cm
  • Diâmetro da garrafa, d = 8 cm
  • Concentração de CO₂, C = 7 g de CO₂ / dm³
  • Pressão, P = 3 bar
  • Espessura da parede, x = 0,27 μm = 0,27 × 10⁻⁶ m
  • Massa específica do PET, rho = 1,5 g/cm³
  • Coeficiente de difusão, D_{CO₂ PET} = 2 × 10⁻³ m²/s

Passo 3

Agora, vamos lembrar a Lei de Fick da Difusão, que é dada por:
J = -D cdot dCdx
Onde:
  • $ J $ é o fluxo de massa (g/(cm²·s))
  • $ D $ é o coeficiente de difusão (cm²/s)
  • $ \frac{dC}{dx} $ é o gradiente de concentração
Como a concentração diminui linearmente através da espessura da parede, podemos simplificar para:
J

Passo 4

Precisamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Vamos trabalhar em unidades do SI:
  • Espessura da parede, x = 0,27 μm = 0,27 × 10⁻⁶ m
  • Concentração, C = 7 g/dm³ = 7 g/L = 7 × 10⁻³ g/cm³
  • Coeficiente de difusão, D = 2 × 10⁻³ m²/s = 2 × 10⁴ cm²/s (já que 1 m² = 10⁴ cm²)

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do fluxo de massa:
J = D cdot Cx
Substituindo:
J = 2 times 10^4 , cm²/s times 7 times 10^-3 , g/cm³0,27 times 10^-6 , m ²³
Mas precisamos que todas as unidades estejam em cm, então convertendo x:
x = 0,27 times 10^-6 , m = 0,27 times 10^-4 , cm

Passo 6

Substituindo novamente na fórmula:
J = 2 times 10^4 times 7 times 10^-30,27 times 10^-4
Calculando o numerador e denominador:
J = 1400,27 times 10^-4 = 1402,7 times 10^-5
J approx 5,185 times 10^6 , g/(cm²·s) ²

Resposta

O fluxo de massa de CO₂ através das paredes da garrafa é aproximadamente 5,185 times 10^6 , g/(cm²·s)².

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