Um fluido lei de potência escoa dentro de um tudo de diâmetro D e comprimento L . Demonstrar que:
vvmax =22 n+1
Demonstrar que a taxa de deformação na parede é igual a
dotYp=-d vd r=(De

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluido que segue uma lei de potência escoando dentro de um tubo com diâmetro vvmax = 22n + 1 e comprimento dotYp = -dvdr = ( De. A gente precisa demonstrar duas coisas:
  1. A relação entre a velocidade média ( ) e a velocidade máxima ( ):
  2. A taxa de deformação na parede ( ):
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente sobre fluidos não newtonianos que seguem a lei de potência. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima. Em um fluxo laminar de um fluido em um tubo circular, a velocidade do fluido varia radialmente e tem seu valor máximo no centro do tubo.
A velocidade máxima ( ) ocorre no centro, onde a derivada da velocidade em relação ao raio é zero. A velocidade média ( ) é a média da velocidade sobre a seção transversal do tubo.

Passo 3

Para encontrar a velocidade média, vamos integrar a velocidade sobre a área da seção transversal e dividir pela área total. Matemáticamente:
v = 1A integralA v(r) , dA
Onde é a área da seção transversal e é a velocidade em função do raio .

Passo 4

Assumindo que o perfil de velocidade segue a lei de potência, temos:
v(r) = vmax (1 - (rR)^2n)
Aqui, é o raio do tubo ( ) e é o expoente da lei de potência.

Passo 5

Vamos calcular a área integral em coordenadas polares:
v = 1pi R^2 integral0^2pi integral0^R vmax (1 - (rR)^2n) r , dr , dtheta

Passo 6

Integrando em v = vmaxpi R^2 cdot 2pi integral0^R (1 - (rR)^2n) r , dr , temos:
v = 2 vmaxR^2 integral0^R (1 - (rR)^2n) r , dr
Simplificando:

Passo 7

Fazendo a substituição v = 2 vmaxR^2 cdot R^2 integral0^1 (1 - x^2n) x , dx , v = 2 vmax integral0^1 (x - x^2n+1) dx , os limites de integração ficam de 0 a 1:
Simplificando :

Passo 8

Integrando termo a termo:
v = 2 vmax [ x^22 - x^2n+22n+2 ]0^1
Substituindo os limites:
v = 2 vmax ( 12 - 12n+2 )

Passo 9

Simplificando a expressão:
v = 2 vmax ( (2n+2) - 22(2n+2) ) = 2 vmax ( 2n2(2n+2) ) = 2 vmax ( n2n+2 )
Cancelando o 2 no denominador:
v = 2 vmax2n + 1

Passo 10

Agora, isolando a razão vvmax = 22n + 1 :

Passo 11

Pronto! Demonstramos a primeira parte que relaciona a velocidade média com a velocidade máxima.
Agora, vamos para a segunda parte: a taxa de deformação na parede.

Passo 12

A taxa de deformação ( dotY = dvdr ) em um fluido é dada pela derivada da velocidade em relação ao raio:
dotYp = dvdr |r=R
Na parede do tubo ( ), essa taxa de deformação é:

Passo 13

Usando a expressão do perfil de velocidade:
v(r) = vmax (1 - (rR)^2n)
Derivando em relação ao dvdr = vmax cdot (-2n) (rR)^2n - 1 cdot 1R :
dvdr = -2n vmaxR (rR)^2n - 1
Simplificando:

Passo 14

Na parede, dotYp = -dvdr g|r=R = 2n vmaxR (RR)^2n - 1 = 2n vmaxR :

Passo 15

Agora, precisamos relacionar De com os parâmetros dados ( , , , etc.). Para um fluido de lei de potência, a equação de equilíbrio de forças pode ser usada:

Passo 16

Usando a expressão da taxa de deformação na parede, substituímos de volta:
De
Integrando integral0^R r , dr = R^22 de 0 a :

Passo 17

Substituindo na equação:
De
Simplificando:
De

Passo 18

Isolando De:
vmax^n = De
vmax = ( De
Tomando a raiz -ésima:

Passo 19

Substituindo dotYp = 2nR ( De na expressão da taxa de deformação na parede:
dotYp = 2nR cdot 12n ( De
Simplificando os termos:
dotYp = ( De
Cancelando :

Resposta

Demonstramos que:
vvmax = 22n + 1
e que a taxa de deformação na parede é igual a:
dotYp = -dvdr = ( De

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