Um fluido lei de potência escoa dentro de um tudo de diâmetro D e comprimento L . Demonstrar que:
Demonstrar que a taxa de deformação na parede é igual a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluido que segue uma lei de potência escoando dentro de um tubo com diâmetro e comprimento . A gente precisa demonstrar duas coisas:
A relação entre a velocidade média () e a velocidade máxima ():
A taxa de deformação na parede ():
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente sobre fluidos não newtonianos que seguem a lei de potência. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima. Em um fluxo laminar de um fluido em um tubo circular, a velocidade do fluido varia radialmente e tem seu valor máximo no centro do tubo.
A velocidade máxima () ocorre no centro, onde a derivada da velocidade em relação ao raio é zero. A velocidade média () é a média da velocidade sobre a seção transversal do tubo.
Passo 3
Para encontrar a velocidade média, vamos integrar a velocidade sobre a área da seção transversal e dividir pela área total. Matemáticamente:
Onde é a área da seção transversal e é a velocidade em função do raio .
Passo 4
Assumindo que o perfil de velocidade segue a lei de potência, temos:
Aqui, é o raio do tubo () e é o expoente da lei de potência.
Passo 5
Vamos calcular a área integral em coordenadas polares:
Passo 6
Integrando em , temos:
Simplificando:
Passo 7
Fazendo a substituição , , os limites de integração ficam de 0 a 1:
Simplificando :
Passo 8
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Cancelando o 2 no denominador:
Passo 10
Agora, isolando a razão :
Passo 11
Pronto! Demonstramos a primeira parte que relaciona a velocidade média com a velocidade máxima.
Agora, vamos para a segunda parte: a taxa de deformação na parede.
Passo 12
A taxa de deformação () em um fluido é dada pela derivada da velocidade em relação ao raio:
Na parede do tubo (), essa taxa de deformação é:
Passo 13
Usando a expressão do perfil de velocidade:
v(r) = vmax (1 - (rR)^2n)
Derivando em relação ao dvdr = vmax cdot (-2n) (rR)^2n - 1 cdot 1R :
Agora, precisamos relacionar De com os parâmetros dados (, , , etc.). Para um fluido de lei de potência, a equação de equilíbrio de forças pode ser usada:
Passo 16
Usando a expressão da taxa de deformação na parede, substituímos de volta:
De
Integrando integral0^R r , dr = R^22 de 0 a :
Passo 17
Substituindo na equação:
De
Simplificando:
De
Passo 18
Isolando De:
vmax^n = De
vmax = ( De
Tomando a raiz -ésima:
Passo 19
Substituindo dotYp = 2nR ( De na expressão da taxa de deformação na parede: