Um foguete é lançado verticalmente para cima e sobe com uma aceleração constante a durante um tempo t0. O seu combustível acaba e ele continua a se mover como uma partícula em queda livre. (a) Qual é a altura máxima atingida pelo foguete? (b) Qual é o tempo total decorrido do lançamento até o retorno ao solo? © Represente graficamente a posição, a velocidade e a aceleração do foguete em função do tempo.

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento vertical de um foguete. O foguete é lançado para cima com uma aceleração constante a durante um tempo t0. Depois disso, seu combustível acaba e ele passa a se mover apenas sob a influência da gravidade, ou seja, em queda livre. Para resolver este exercício, vamos utilizar conceitos de Cinemática, especificamente as equações do movimento uniformemente acelerado e o movimento de queda livre.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a altura que o foguete alcança durante o período em que está acelerando. Para isso, usamos a fórmula da posição no movimento uniformemente acelerado:
s = vi t + 12 a t^2
Como o foguete parte do repouso, sua velocidade inicial vi é 0. Assim, a fórmula simplifica para:
h1 = 12 a t0^2
Esta é a altura que o foguete atinge durante a fase de aceleração.

Passo 3

Após o combustível se esgotar, o foguete sobe até parar e depois começa a cair. A altura máxima será quando sua velocidade for zero. Para encontrar o tempo que leva para alcançar essa altura máxima a partir do fim da aceleração, usamos:
v = v0 + a t
Aqui, v0 é a velocidade ao final da aceleração:
v0 = a t0
No ponto mais alto, v = 0, então:
0 = a t0 - g t
t = a t0g
Onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Agora, calculamos a altura adicional que o foguete alcança após o fim da aceleração:
h2 = v0 t - 12 g t^2
Substituindo v0 = a t0 e t = a t0g:
h2 = a t0 ( a t0g ) - 12 g ( a t0g )^2
h2 = a^2 t0^2g - a^2 t0^22g = a^2 t0^22g

Passo 5

A altura máxima total atingida pelo foguete é a soma das duas alturas:
hmáx = h1 + h2 = 12 a t0^2 + a^2 t0^22g á
Factorizando 12 a t0^2:
hmáx = 12 a t0^2 (1 + ag) á

Resposta

A altura máxima atingida pelo foguete é:
hmáx = 12 a t0^2 (1 + ag) á

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