© Considere agora uma região esférica de raio
, centrada na origem. Qual é a carga total contida nesta região? Sugestão: Utilize um sistema de coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a carga total dentro de uma região esférica de raio
, que está centrada na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é de eletrostática, mais especificamente sobre densidade de carga e integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar configurar uma integral que some todas as pequenas cargas dentro dessa esfera.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a carga total
dentro da esfera pode ser encontrada integrando a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera. A densidade de carga
nos diz quanta carga existe por unidade de volume em cada ponto dentro da esfera.
Passo 3
Como a região é esférica, é mais fácil usar o sistema de coordenadas esféricas para realizar a integração. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é determinado por três coordenadas: o raio
, o ângulo polar
e o ângulo azimutal
.
Passo 4
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Esse elemento de volume nos ajuda a somar todas as pequenas porções de carga dentro da esfera.
Passo 5
Agora, podemos expressar a carga total
como uma integral tripla:
Aqui, estamos integrando sobre todos os valores possíveis de
de 0 a
,
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 6
Se a densidade de carga
depender apenas do raio
(ou seja,
), a integral fica mais simples:
Calculando as integrais internas:
Então, a expressão para
fica:
Resposta
A carga total contida na região esférica de raio
é dada por:
Exercícios relacionados
(b) Se
, o objeto II pode ser um condutor em equilíbrio eletrostático? Justifique.
Um foguete é lançado verticalmente para cima e sobe com uma aceleração constante
durante um tempo
. O seu combustível acaba e ele continua a se mover como uma partícula em queda livre. (a) Qual é a altura máxima atingida pelo foguete? (b) Qual é o tempo total decorrido do lançamento até o retorno ao solo? © Represente graficamente a posição, a velocidade e a aceleração do foguete em função do tempo.
No momento em que um sinal de tráfego acende a luz verde, um automóvel parte com uma aceleração constante de
. No mesmo instante, um caminhão, deslocando-se com velocidade constante de 72,0
, está
atrás do automóvel. (a) Esboce um gráfico representando as posições dos veículos em função do tempo. (b) A que distância do seu ponto de partida o automóvel será ultrapassado pelo caminhão? © Qual será a velocidade do automóvel nesse instante? (d) Após essa ultrapassagem, em quanto tempo o automóvel tornará a ultrapassar o caminhão? (e) Qual será a velocidade do automóvel no momento da segunda ultrapassagem? (f) Qual deve ser a velocidade mínima do caminhão para que ele seja capaz de, pelo menos, alcançar o automóvel?
Uma pedra é solta do topo de um penhasco e
depois uma segunda pedra é lançada verticalmente para baixo com uma velocidade de
. Sabendo que as duas pedras chegam ao solo ao mesmo tempo, determine a altura do penhasco.