© Considere agora uma região esférica de raio R, centrada na origem. Qual é a carga total contida nesta região? Sugestão: Utilize um sistema de coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a carga total dentro de uma região esférica de raio , que está centrada na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é de eletrostática, mais especificamente sobre densidade de carga e integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar configurar uma integral que some todas as pequenas cargas dentro dessa esfera.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a carga total dentro da esfera pode ser encontrada integrando a densidade de carga sobre todo o volume da esfera. A densidade de carga nos diz quanta carga existe por unidade de volume em cada ponto dentro da esfera.

Passo 3

Como a região é esférica, é mais fácil usar o sistema de coordenadas esféricas para realizar a integração. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é determinado por três coordenadas: o raio , o ângulo polar e o ângulo azimutal .

Passo 4

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Esse elemento de volume nos ajuda a somar todas as pequenas porções de carga dentro da esfera.

Passo 5

Agora, podemos expressar a carga total Q = integral0^R integral0^pi integral0^2pi rho(r, theta, phi) , r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr como uma integral tripla:
Aqui, estamos integrando sobre todos os valores possíveis de de 0 a , de 0 a e de 0 a .

Passo 6

Se a densidade de carga Q = integral0^R rho(r) , r^2 ( integral0^pi sintheta , dtheta ) ( integral0^2pi dphi ) dr depender apenas do raio integral0^pi sintheta , dtheta = 2 (ou seja, integral0^2pi dphi = 2pi ), a integral fica mais simples:
Q = 4pi integral0^R rho(r) , r^2 , dr
Calculando as integrais internas:
Então, a expressão para fica:

Resposta

A carga total contida na região esférica de raio Q = 4pi integral0^R rho(r) , r^2 , dr é dada por:

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