© Considere agora uma região esférica de raio
, centrada na origem. Qual é a carga total contida nesta região? Sugestão: Utilize um sistema de coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a carga total dentro de uma região esférica de raio
, que está centrada na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é de eletrostática, mais especificamente sobre densidade de carga e integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar configurar uma integral que some todas as pequenas cargas dentro dessa esfera.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a carga total
dentro da esfera pode ser encontrada integrando a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera. A densidade de carga
nos diz quanta carga existe por unidade de volume em cada ponto dentro da esfera.
Passo 3
Como a região é esférica, é mais fácil usar o sistema de coordenadas esféricas para realizar a integração. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é determinado por três coordenadas: o raio
, o ângulo polar
e o ângulo azimutal
.
Passo 4
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Esse elemento de volume nos ajuda a somar todas as pequenas porções de carga dentro da esfera.
Passo 5
Agora, podemos expressar a carga total
como uma integral tripla:
Aqui, estamos integrando sobre todos os valores possíveis de
de 0 a
,
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 6
Se a densidade de carga
depender apenas do raio
(ou seja,
), a integral fica mais simples:
Calculando as integrais internas:
Então, a expressão para
fica:
Resposta
A carga total contida na região esférica de raio
é dada por: