Um foguete para pesquisas meteorológicas é lançado verticalmente para cima. O combustível, que lhe ele imprime uma aceleração de 1,5 g(g=9,8 m / s^2) durante o período de queima, esgota-se após 12 min. (a) Qual seria a altitude máxima atingida pelo foguete, se pudéssemos desprezar a resistência do ar? (b) Com que velocidade, e depois de quanto tempo, ele voltaria a atingir o solo? © Esboce graficamente y(t), v(t) e a(t).

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um foguete que está sendo lançado verticalmente para cima. O combustível dele proporciona uma aceleração de 1,5 , g, onde g = 9,8 , m/s^2, durante meio minuto (ou 30 segundos). Vamos resolver as três partes da questão usando conceitos de cinemática e movimento uniformemente acelerado. Vamos precisar das fórmulas de aceleração, velocidade e posição no movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

Passo 2

Parte (a): Altitude máxima atingida pelo foguete, desprezando a resistência do ar.
Primeiro, vamos calcular o tempo total de subida até parar. O foguete está acelerando durante 30 segundos com uma aceleração de $ a = 1,5 \times 9,8 = 14,7 , m/s^2 $.
A velocidade final após o tempo de aceleração é dada por:
a = 1,5 times 9,8 = 14,7 , m/s^2
v = a times t
Depois que o combustível acaba, o foguete vai subir sob a ação apenas da gravidade, desacelerando a $ g = 9,8 , m/s^2 $. O tempo que leva para a velocidade chegar a zero é:
v = 14,7 times 30 = 441 , m/s
Agora, vamos calcular a altura adicional durante essa desaceleração:
g = 9,8 , m/s^2
t = vg = 4419,8 approx 45 , segundos
h = v times t - 12 g t^2
A altura atingida durante os 30 segundos de aceleração é:
h = 441 times 45 - 12 times 9,8 times 45^2
h = 19845 - 9922,5 = 9922,5 , metros
h1 = 12 a t^2
h1 = 12 times 14,7 times 30^2
Então, a altitude máxima é a soma das duas alturas:
h1 = 0,5 times 14,7 times 900

Passo 3

Parte (b): Velocidade e tempo para o foguete voltar a atingir o solo.
Quando o foguete atinge a altitude máxima, sua velocidade é zero. A partir daí, ele começa a cair livremente sob a aceleração da gravidade.
O tempo de queda desde a altura máxima até o solo é igual ao tempo que levaria para um objeto cair de uma altura $ h $ com aceleração $ g $:
h
g
h = 12 g t^2
16537,5 = 12 times 9,8 times t^2
t^2 = 2 times 16537,59,8
A velocidade com que o foguete atinge o solo pode ser calculada usando:
t^2 approx 3375
t approx 58,09 , segundos
Como o foguete subiu por 30 segundos e vai demorar aproximadamente 58,09 segundos para descer, o tempo total desde o lançamento até atingir o solo é:
v = g times t

Passo 4

Parte ©: Esboço gráfico de $ y(t) $, $ v(t) $ e $ a(t) $.
Embora não possamos desenhar aqui, vou descrever como seriam os gráficos:
  • $ y(t) $: A posição em função do tempo começaria com uma curva crescente, aumentando mais rapidamente durante os primeiros 30 segundos devido à aceleração. Depois disso, a curva continuaria subindo, mas a um ritmo decrescente até alcançar o pico, e então desceria simétricamente até chegar ao solo.
  • **$ v(t) y(t) çã v = a \times t $). Após os 30 segundos, a velocidade começaria a decrescer linearmente devido à gravidade até chegar a zero no ponto mais alto, e então aumentaria negativamente (descendo) de forma linear até atingir a velocidade máxima no solo.
  • **$ a(t) v(t) çã a = 14,7 , m/s^2 a(t) ãçãà a = -9,8 , m/s^2 $) após os 30 segundos.

Resposta

(a) A altitude máxima atingida pelo foguete é de aproximadamente 16.537,5 metros.
(b) O foguete retornaria ao solo com uma velocidade de aproximadamente 569,0 m/s após um tempo total de 88,09 segundos desde o lançamento.

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