Derive as seguintes expressões
v^2=v0^2+2 a(x-x0), x=x0+(v0+v) t2, x=x0+v t-a t^22
a partir das equações básicas do movimento com aceleração constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar três expressões relacionadas ao movimento com aceleração constante. Isso faz parte da matéria de Cinemática na Física. Para resolver, vamos precisar das equações básicas do movimento uniformemente acelerado, que relacionam velocidade, posição, tempo e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com as duas equações básicas do movimento com aceleração constante:
  1. Equação da velocidade:
    v = v0 + a t
    Aqui, v é a velocidade final, v0 é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o tempo.
  2. Equação da posição:
    x = x0 + v0 t + 12 a t^2
    Onde x é a posição final e x0 é a posição inicial.

Passo 3

Vamos derivar a primeira expressão:
v^2 = v0^2 + 2 a(x - x0)
Para isso, vamos eliminar o tempo ( t) das duas equações básicas. Primeiro, resolvemos a equação da velocidade para t:
t = v - v0a
Agora, substituímos esse valor de t na equação da posição:
x = x0 + v0 (v - v0a) + 12 a (v - v0a)^2
Simplificando:
x - x0 = v v0 - v0^2a + (v - v0)^22a
Multiplicando ambos os lados por 2a:
2a(x - x0) = 2v v0 - 2v0^2 + v^2 - 2v v0 + v0^2
2a(x - x0) = v^2 - v0^2
Rearranjando:
v^2 = v0^2 + 2 a(x - x0)

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda expressão:
x = x0 + (v0 + v) t2
Esta equação representa a posição em termos da média das velocidades inicial e final. Sabemos que a velocidade média ( vm) em um movimento uniformemente acelerado é:
vm = v0 + v2
A posição pode ser calculada multiplicando a velocidade média pelo tempo:
x = x0 + vm t = x0 + v0 + v2 t

Passo 5

Por fim, vamos derivar a terceira expressão:
x = x0 + v t - a t^22
Começamos com a equação da posição:
x = x0 + v0 t + 12 a t^2
Sabemos da equação da velocidade que:
v = v0 + a t implies v0 = v - a t
Substituindo v0 na equação da posição:
x = x0 + (v - a t) t + 12 a t^2
x = x0 + v t - a t^2 + 12 a t^2
x = x0 + v t - a t^22

Resposta

As expressões derivadas são:
  1. v^2=v0^2+2 a(x-x0)
  2. x = x0 + (v0 + v) t2
  3. x = x0 + v t - a t^22

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