Um objeto percorre a metade do caminho com velocidade
. O restante do percurso é feito a uma velocidade
durante a metade do tempo, e a uma velocidade
no trajeto final. Determine a velocidade média do ponto no percurso total.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um objeto que percorre um trajeto dividido em duas partes:
- Primeira metade do caminho: o objeto se move com velocidade
. - Segunda metade do caminho: essa parte é dividida em duas fases:
- Durante a primeira metade do tempo dessa segunda metade, ele viaja com velocidade
. - Na segunda metade do tempo dessa segunda metade, ele viaja com velocidade
.
- Durante a primeira metade do tempo dessa segunda metade, ele viaja com velocidade
Queremos descobrir a velocidade média do objeto durante todo o percurso.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática, como distância, velocidade e tempo, além de saber como calcular a velocidade média, que é a distância total dividida pelo tempo total.
Passo 2
Vamos chamar a distância total do percurso de
. Assim, a primeira metade do caminho é
e a segunda metade também é
.
Primeiro, vamos calcular o tempo que o objeto leva para percorrer a primeira metade do caminho com velocidade
:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda metade do caminho, que tem distância
, mas é percorrida em duas fases com velocidades diferentes.
Sabemos que essa segunda metade é feita em dois tempos iguais, cada um sendo metade do tempo total
. Portanto, cada fase dura
.
Durante a primeira fase da segunda metade, a velocidade é
, então a distância percorrida nessa fase é:
Na segunda fase, a velocidade é
, então a distância percorrida é:
Como a soma dessas duas distâncias deve ser igual a
, temos:
Podemos simplificar essa equação para encontrar
:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos calcular o tempo total
do percurso:
Passo 5
A velocidade média
é a distância total dividida pelo tempo total:
Podemos simplificar essa expressão cancelando
no numerador e denominador:
Resposta
A velocidade média do objeto durante todo o percurso é: