Um objeto percorre a metade do caminho com velocidade v0. O restante do percurso é feito a uma velocidade v1 durante a metade do tempo, e a uma velocidade v2 no trajeto final. Determine a velocidade média do ponto no percurso total.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um objeto que percorre um trajeto dividido em duas partes:
  1. Primeira metade do caminho: o objeto se move com velocidade .
  2. Segunda metade do caminho: essa parte é dividida em duas fases:
    • Durante a primeira metade do tempo dessa segunda metade, ele viaja com velocidade .
    • Na segunda metade do tempo dessa segunda metade, ele viaja com velocidade .
Queremos descobrir a velocidade média do objeto durante todo o percurso.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática, como distância, velocidade e tempo, além de saber como calcular a velocidade média, que é a distância total dividida pelo tempo total.

Passo 2

Vamos chamar a distância total do percurso de t1 = distânciavelocidade = D2v0 = D2v0 . Assim, a primeira metade do caminho é e a segunda metade também é .
Primeiro, vamos calcular o tempo que o objeto leva para percorrer a primeira metade do caminho com velocidade :
â

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda metade do caminho, que tem distância d1 = v1 times t22 , mas é percorrida em duas fases com velocidades diferentes.
Sabemos que essa segunda metade é feita em dois tempos iguais, cada um sendo metade do tempo total d2 = v2 times t22 . Portanto, cada fase dura d1 + d2 = D2 .
Durante a primeira fase da segunda metade, a velocidade é v1 times t22 + v2 times t22 = D2 , então a distância percorrida nessa fase é:
t22(v1 + v2) = D2
Na segunda fase, a velocidade é t2 = Dv1 + v2 , então a distância percorrida é:
Como a soma dessas duas distâncias deve ser igual a , temos:
Podemos simplificar essa equação para encontrar :

Passo 4

Agora que temos T = t1 + t2 = D2v0 + Dv1 + v2 e , podemos calcular o tempo total do percurso:

Passo 5

A velocidade média vmédia = DT = DD2v0 + Dv1 + v2 é é a distância total dividida pelo tempo total:
vmédia = 112v0 + 1v1 + v2 é
Podemos simplificar essa expressão cancelando no numerador e denominador:
é

Resposta

A velocidade média do objeto durante todo o percurso é:
vmédia = 112v0 + 1v1 + v2 é

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