For the given matrix/vector pairs, compute the following quantities: ai i, ai j ai j, ai j aj k, ai j bj, ai j bi bj, bi bi. For each case, point out whether the result is a scalar, vector or matrix. Note that ai j bj is actually the matrix product [a] b, while ai j aj k is the product [a][a].
© ai j=[lll1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4], bi=[l1 1 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular várias combinações de matrizes e vetores usando os pares dados. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com operações envolvendo matrizes e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes entre si e com vetores, além de identificar o tipo de resultado que cada operação gera (escalar, vetor ou matriz).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular aij = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 . Isso significa somar os elementos da diagonal principal da matriz aii = a11 + a22 + a33 = 1 + 0 + 4 = 5 . A diagonal principal são os elementos que vão do canto superior esquerdo ao inferior direito.
A matriz é:
Então, os elementos da diagonal principal são , e . Somando esses valores:
Isso é um escalar, porque é apenas um número.

Passo 3

Agora, vamos calcular aij aij = sumi=1^3 sumj=1^3 aij cdot aij . Isso significa multiplicar a matriz por ela mesma elemento a elemento e somar todos os produtos. Essa operação é conhecida como produto de Hadamard.
1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 + 2^2 + 0^2 + 1^2 + 4^2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 0 + 1 + 16 = 25
Calculando cada termo:
Isso também é um escalar.

Passo 4

Vamos calcular aij ajk = a times a . Aqui, estamos fazendo a multiplicação de matrizes comuns. O resultado será uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos das linhas de 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 times 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot0 + 1cdot1 & 1cdot1 + 1cdot2 + 1cdot4 1cdot1 + 0cdot1 + 2cdot0 & 1cdot1 + 0cdot0 + 2cdot1 & 1cdot1 + 0cdot2 + 2cdot4 0cdot1 + 1cdot1 + 4cdot0 & 0cdot1 + 1cdot0 + 4cdot1 & 0cdot1 + 1cdot2 + 4cdot4 pelas colunas de = 2 & 2 & 7 1 & 1 & 9 1 & 4 & 18 .

Multiplicando a matriz por ela mesma:
[

\times


]
[


]
O resultado é uma matriz.

Passo 5

Agora, vamos calcular aij bj = a times b . Isso é uma multiplicação de matriz por vetor, resultando em um vetor. Cada elemento do novo vetor é a soma dos produtos dos elementos das linhas de 1 1 0 pelos elementos de 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 times 1 1 0 = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 1cdot1 + 0cdot1 + 2cdot0 0cdot1 + 1cdot1 + 4cdot0 = 2 1 1 .

Com :
[

\times


]
O resultado é um vetor.

Passo 6

Vamos calcular bi bj = 1 1 0 times 1 & 1 & 0 = 1cdot1 & 1cdot1 & 1cdot0 1cdot1 & 1cdot1 & 1cdot0 0cdot1 & 0cdot1 & 0cdot0 = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 . Primeiro, note que a times (bi bj) = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 times 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot0 + 1cdot0 + 1cdot0 1cdot1 + 0cdot1 + 2cdot0 & 1cdot1 + 0cdot1 + 2cdot0 & 1cdot0 + 0cdot0 + 2cdot0 0cdot1 + 1cdot1 + 4cdot0 & 0cdot1 + 1cdot1 + 4cdot0 & 0cdot0 + 1cdot0 + 4cdot0 resulta em uma matriz, pois estamos multiplicando dois vetores. Então, multiplicamos a matriz = 2 & 2 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 por essa nova matriz.

Primeiro, calculamos :
[
b_i b_j = \times


]

Agora, multiplicamos por :
[
a \times (b_i b_j) =

\times


]
[


]
O resultado é uma matriz.

Passo 7

Por último, vamos calcular bi bi = sumi=1^3 bi cdot bi = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 . Isso significa multiplicar o vetor por ele mesmo, somando os produtos dos elementos correspondentes.
Isso é um escalar.

Resposta

  • 2 & 2 & 7 1 & 1 & 9 1 & 4 & 18Escalar
  • 2 1 1Escalar
  • 2 & 2 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0Matriz
  • Vetor
  • Matriz
  • Escalar

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