Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular várias combinações de matrizes e vetores usando os pares dados. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com operações envolvendo matrizes e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes entre si e com vetores, além de identificar o tipo de resultado que cada operação gera (escalar, vetor ou matriz).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular aij = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 . Isso significa somar os elementos da diagonal principal da matriz aii = a11 + a22 + a33 = 1 + 0 + 4 = 5 . A diagonal principal são os elementos que vão do canto superior esquerdo ao inferior direito.
A matriz é:
Então, os elementos da diagonal principal são , e . Somando esses valores:
Isso é um escalar, porque é apenas um número.
Passo 3
Agora, vamos calcular aij aij = sumi=1^3 sumj=1^3 aij cdot aij . Isso significa multiplicar a matriz por ela mesma elemento a elemento e somar todos os produtos. Essa operação é conhecida como produto de Hadamard.
Vamos calcular aij ajk = a times a . Aqui, estamos fazendo a multiplicação de matrizes comuns. O resultado será uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos das linhas de 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 times 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot0 + 1cdot1 & 1cdot1 + 1cdot2 + 1cdot4 1cdot1 + 0cdot1 + 2cdot0 & 1cdot1 + 0cdot0 + 2cdot1 & 1cdot1 + 0cdot2 + 2cdot4 0cdot1 + 1cdot1 + 4cdot0 & 0cdot1 + 1cdot0 + 4cdot1 & 0cdot1 + 1cdot2 + 4cdot4 pelas colunas de = 2 & 2 & 7 1 & 1 & 9 1 & 4 & 18 .
Multiplicando a matriz por ela mesma:
[
\times
]
[
]
O resultado é uma matriz.
Passo 5
Agora, vamos calcular aij bj = a times b . Isso é uma multiplicação de matriz por vetor, resultando em um vetor. Cada elemento do novo vetor é a soma dos produtos dos elementos das linhas de 1 1 0 pelos elementos de 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 times 1 1 0 = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 1cdot1 + 0cdot1 + 2cdot0 0cdot1 + 1cdot1 + 4cdot0 = 2 1 1 .
Agora, multiplicamos por :
[
a \times (b_i b_j) =
\times
]
[
]
O resultado é uma matriz.
Passo 7
Por último, vamos calcular bi bi = sumi=1^3 bi cdot bi = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 . Isso significa multiplicar o vetor por ele mesmo, somando os produtos dos elementos correspondentes.