For the given matrix/vector pairs, compute the following quantities: . For each case, point out whether the result is a scalar, vector or matrix. Note that is actually the matrix product [a] , while is the product .
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para calcular várias quantidades envolvendo uma matriz e um vetor . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre multiplicação de matrizes e vetores, além de identificar se o resultado de cada operação é um escalar, vetor ou matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular aij = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 . Aqui, aii = 1 + 2 + 0 = 3 representa os elementos da diagonal principal da matriz .
A matriz é:
Então, os elementos da diagonal principal são 1, 2 e 0. Somando esses valores:
Esse resultado é um escalar.
Passo 3
Agora, vamos calcular 1^2 = 1, 0^2 = 0, 0^2 = 0 . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz 0^2 = 0, 2^2 = 4, 1^2 = 1 por ele mesmo e depois somar todos esses produtos.
Calculando cada elemento ao quadrado:
0^2 = 0, 3^2 = 9, 0^2 = 0
aij aij = 1 + 0 + 0 + 0 + 4 + 1 + 0 + 9 + 0 = 15
Somando todos esses valores:
Esse resultado também é um escalar.
Passo 4
Vamos calcular [a][a] = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 , que é a multiplicação da matriz 1*1 + 0*0 + 0*0 = 1 por ela mesma, ou seja, 1*0 + 0*2 + 0*3 = 0 .
Multiplicando as matrizes:
1*0 + 0*1 + 0*0 = 0
Calculando cada elemento da matriz resultante:
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
0*1 + 2*0 + 1*0 = 0
Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
0*0 + 2*2 + 1*3 = 4 + 3 = 7
Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
0*0 + 2*1 + 1*0 = 2
Primeiro elemento (linha 2, coluna 1):
0*1 + 3*0 + 0*0 = 0
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
0*0 + 3*2 + 0*3 = 6
Terceiro elemento (linha 2, coluna 3):
0*0 + 3*1 + 0*0 = 3
Primeiro elemento (linha 3, coluna 1):
[a][a] = 1 & 0 & 0 0 & 7 & 2 0 & 6 & 3
Segundo elemento (linha 3, coluna 2):
Terceiro elemento (linha 3, coluna 3):
Portanto, a matriz resultante é:
Esse resultado é uma matriz.
Passo 5
Agora, vamos calcular bi = 1 0 1 , que é a multiplicação da matriz [a] b = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 1 0 1 pelo vetor 1*1 + 0*0 + 0*1 = 1 .
Como estamos multiplicando um vetor coluna por um vetor linha, o resultado será uma matriz:
Esse resultado é uma matriz.
Passo 7
Por último, vamos calcular bi = 1 0 1 . Isso significa multiplicar cada elemento do vetor 1^2 = 1, 0^2 = 0, 1^2 = 1 por ele mesmo e somar os resultados.