For the given matrix/vector pairs, compute the following quantities: ai i, ai j ai j, ai j aj k, ai j bj, ai j bi bj, bi bi. For each case, point out whether the result is a scalar, vector or matrix. Note that ai j bj is actually the matrix product [a] b, while ai j aj k is the product [a][a].
(d) ai j=[lll1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0], bi=[l1 0 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para calcular várias quantidades envolvendo uma matriz e um vetor . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre multiplicação de matrizes e vetores, além de identificar se o resultado de cada operação é um escalar, vetor ou matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular aij = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 . Aqui, aii = 1 + 2 + 0 = 3 representa os elementos da diagonal principal da matriz .
A matriz é:
Então, os elementos da diagonal principal são 1, 2 e 0. Somando esses valores:
Esse resultado é um escalar.

Passo 3

Agora, vamos calcular 1^2 = 1, 0^2 = 0, 0^2 = 0 . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz 0^2 = 0, 2^2 = 4, 1^2 = 1 por ele mesmo e depois somar todos esses produtos.
Calculando cada elemento ao quadrado:
0^2 = 0, 3^2 = 9, 0^2 = 0
aij aij = 1 + 0 + 0 + 0 + 4 + 1 + 0 + 9 + 0 = 15
Somando todos esses valores:
Esse resultado também é um escalar.

Passo 4

Vamos calcular [a][a] = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 , que é a multiplicação da matriz 1*1 + 0*0 + 0*0 = 1 por ela mesma, ou seja, 1*0 + 0*2 + 0*3 = 0 .
Multiplicando as matrizes:
1*0 + 0*1 + 0*0 = 0
Calculando cada elemento da matriz resultante:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
0*1 + 2*0 + 1*0 = 0
  • Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
0*0 + 2*2 + 1*3 = 4 + 3 = 7
  • Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
0*0 + 2*1 + 1*0 = 2
  • Primeiro elemento (linha 2, coluna 1):
0*1 + 3*0 + 0*0 = 0
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
0*0 + 3*2 + 0*3 = 6
  • Terceiro elemento (linha 2, coluna 3):
0*0 + 3*1 + 0*0 = 3
  • Primeiro elemento (linha 3, coluna 1):
[a][a] = 1 & 0 & 0 0 & 7 & 2 0 & 6 & 3
  • Segundo elemento (linha 3, coluna 2):
  • Terceiro elemento (linha 3, coluna 3):
Portanto, a matriz resultante é:
Esse resultado é uma matriz.

Passo 5

Agora, vamos calcular bi = 1 0 1 , que é a multiplicação da matriz [a] b = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 1 0 1 pelo vetor 1*1 + 0*0 + 0*1 = 1 .
O vetor 0*1 + 2*0 + 1*1 = 0 + 0 + 1 = 1 é:
0*1 + 3*0 + 0*1 = 0
Multiplicando a matriz pelo vetor:
aij bj = 1 1 0
Calculando cada elemento do vetor resultante:
  • Primeiro elemento:
  • Segundo elemento:
  • Terceiro elemento:
Então, o vetor resultante é:
Esse resultado é um vetor.

Passo 6

Vamos calcular aij bi = [a] b = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 0 1 0 1 = 1 1 0 . Essa operação envolve multiplicar o vetor (aij bi) bj = 1 1 0 1 0 1 pela matriz 1*1 & 1*0 & 1*1 1*1 & 1*0 & 1*1 0*1 & 0*0 & 0*1 = 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 e depois pelo vetor .
Primeiro, calculamos :
Agora, multiplicamos esse resultado pelo vetor :
Como estamos multiplicando um vetor coluna por um vetor linha, o resultado será uma matriz:
Esse resultado é uma matriz.

Passo 7

Por último, vamos calcular bi = 1 0 1 . Isso significa multiplicar cada elemento do vetor 1^2 = 1, 0^2 = 0, 1^2 = 1 por ele mesmo e somar os resultados.
O vetor bi bi = 1 + 0 + 1 = 2 é:
Calculando cada componente ao quadrado:
Somando:
Esse resultado é um escalar.

Resposta

aii &= 3 (escalar) aij aij &= 15 (escalar) aij ajk &= 1 & 0 & 0 0 & 7 & 2 0 & 6 & 3 (matriz) aij bj &= 1 1 0 (vetor) aij bi bj &= 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 (matriz) bi bi &= 2 (escalar)

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