Determine the invariants, and principal values and directions of the following matrices. Use the determined principal directions to establish a principal coordinate system, and formally transform (rotate) the given matrix into the principal system to arrive at the appropriate diagonal form.
(a) [rrr-1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1] (Answer: lambdai=-2,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada de 3x3 e a gente precisa encontrar algumas coisas importantes sobre ela: os invariantes (que nesse contexto são os autovalores), os valores e direções principais, montar um sistema de coordenadas principal e, por fim, transformar essa matriz para uma forma diagonal usando essas direções principais. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente trabalhando com autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação:
A - lambda I = -1 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Aqui, det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(-1 - lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1 (1 - lambda) - 0 = 0 é a matriz dada e é a matriz identidade. Então, vamos montar essa equação:
Calculando o determinante:
Resolvendo isso, encontramos os autovalores , e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada (A - lambda I)v = 0 . Os autovetores são vetores 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0 que satisfazem:
1 -1 0
Vamos resolver isso para cada -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
  1. Para 1 1 0:

[
-2 & 1 & 0 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
0 0 1


]
Isso nos dá e . Então, um autovetor é .
  1. Para :

[


]
Aqui, temos novamente e . Um autovetor pode ser .
  1. Para :

[


]
Aqui, temos e , o que leva a . O valor de pode ser qualquer número, então um autovetor é .

Passo 4

Com os autovetores encontrados, podemos estabelecer o sistema de coordenadas principal. Isso significa que vamos alinhar nossos eixos com essas direções principais. Organizamos os autovetores como colunas de uma matriz de transformação P = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :
Essa matriz é a que vai nos ajudar a rotacionar a matriz original para o sistema principal.

Passo 5

Finalmente, vamos transformar (rotacionar) a matriz original para o sistema de coordenadas principal. Fazemos isso calculando:
P^-1AP = D
Onde D = P^TAP = 1 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Primeiro, calculamos , que é a inversa de . Para simplificar, como é ortogonal (os autovetores são perpendiculares), temos que .
Então:

[
D = P^TAP =


]

Resposta

A matriz diagonal na base principal é:
D = -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1
E os autovalores são , e .

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