For two differentiable vector functions E and H, prove that
nabla cdot(E times H)=H cdot(nabla times E)-E cdot(nabla times H)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas funções vetoriais diferenciáveis, E e H. Precisamos provar que o divergente do produto vetorial dessas duas funções é igual à diferença entre o produto escalar de H com o rotacional de E e o produto escalar de E com o rotacional de H.
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente operações como divergente ( nabla cdot), rotacional ( nabla times) e produto vetorial ( times). Vamos precisar usar a identidade vetorial que relaciona essas operações.

Passo 2

Vamos lembrar da identidade vetorial que nos diz como calcular o divergente do produto vetorial de dois vetores. A identidade é:
nabla cdot (A times B) = B cdot (nabla times A) - A cdot (nabla times B)
Aqui, A e B são vetores diferenciáveis. No nosso caso, A corresponde a E e B a H.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso caso específico, substituímos A por E e B por H:
nabla cdot (E times H) = H cdot (nabla times E) - E cdot (nabla times H)

Passo 4

Como podemos ver, a identidade se encaixa perfeitamente com o que precisamos provar. Não há necessidade de cálculos adicionais, pois a expressão fornecida já corresponde exatamente à identidade vetorial conhecida.

Resposta

Portanto, ficou provado que
nabla cdot(E times H)=H cdot(nabla times E)-E cdot(nabla times H)

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