For two differentiable vector functions
and
, prove that
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas funções vetoriais diferenciáveis,
e
. Precisamos provar que o divergente do produto vetorial dessas duas funções é igual à diferença entre o produto escalar de
com o rotacional de
e o produto escalar de
com o rotacional de
.
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente operações como divergente (
), rotacional (
) e produto vetorial (
). Vamos precisar usar a identidade vetorial que relaciona essas operações.
Passo 2
Vamos lembrar da identidade vetorial que nos diz como calcular o divergente do produto vetorial de dois vetores. A identidade é:
Aqui,
e
são vetores diferenciáveis. No nosso caso,
corresponde a
e
a
.
Passo 3
Aplicando essa identidade ao nosso caso específico, substituímos
por
e
por
:
Passo 4
Como podemos ver, a identidade se encaixa perfeitamente com o que precisamos provar. Não há necessidade de cálculos adicionais, pois a expressão fornecida já corresponde exatamente à identidade vetorial conhecida.
Resposta
Portanto, ficou provado que