determine
a) the magnitude and the direction of the maximum rate of increase of at the point ,
b) the rate of increase of at in the direction of the origin.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função escalar:
E pede para a gente encontrar:
a) A magnitude e a direção da taxa máxima de aumento de no ponto .
b) A taxa de aumento de em na direção da origem.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função. O gradiente nos dá a direção de maior aumento da função e a magnitude desse vetor é exatamente a taxa máxima de aumento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .
Então, temos:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Primeiro, substituímos , , e nas derivadas parciais:
Para em :
Para em :
Para em :
Vamos calcular cada termo:
Então:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, o gradiente em é:
Passo 5
Parte a) Queremos a magnitude e a direção da taxa máxima de aumento de |nabla V|P| = raiz (0)^2 + (-pi6 e^-3)^2 + (-raiz32 e^-3)^2 = e^-3 raiz0 + (pi6)^2 + (raiz32)^2 em raiz (pi6)^2 + (raiz32)^2 = raiz pi^236 + 34 = raiz pi^2 + 2736 = raiz pi^2 + 27 6 .
A direção da taxa máxima de aumento é dada pelo gradiente |nabla V|P| = raiz pi^2 + 27 6 e^-3 no ponto. A magnitude desse vetor é a norma do gradiente.
Então:
Direção: É o próprio vetor gradiente.
Magnitude:
Calculando:
Portanto:
Passo 6
Parte b) Queremos a taxa de aumento de u = -1 -2 -3 em u = u | u | = -1 -2 -3 raiz (-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = -1 -2 -3 raiz1 + 4 + 9 = -1 -2 -3 raiz14 na direção da origem.
Primeiro, precisamos determinar o vetor de direção na direção da origem a partir de Du V = nabla V|P cdot u .
O vetor que aponta de nabla V|P = (0, -pi6 e^-3, -raiz32 e^-3 ) para a origem é:
u = -1 -2 -3 raiz14
Mas para usar na fórmula, precisamos normalizar esse vetor (ou seja, transformá-lo em um vetor unitário).