Given a scalar function
V=(sin pi2 x)(sin pi3 y) e^-z
determine
a) the magnitude and the direction of the maximum rate of increase of V at the point P(1,2,3),
b) the rate of increase of V at P in the direction of the origin.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função escalar:
V = (sin pi2 x)(sin pi3 y) e^-z
E pede para a gente encontrar:
a) A magnitude e a direção da taxa máxima de aumento de no ponto .
b) A taxa de aumento de em na direção da origem.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função. O gradiente nos dá a direção de maior aumento da função e a magnitude desse vetor é exatamente a taxa máxima de aumento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z ) . O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .
Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a partial Vpartial x = pi2 cos(pi2 x) (sin pi3 y) e^-z :
partial Vpartial y = (sin pi2 x) cdot pi3 cos(pi3 y) e^-z
  1. Derivada parcial em relação a partial Vpartial z = -(sin pi2 x) (sin pi3 y) e^-z :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto partial Vpartial xg|P = pi2 cos(pi2 cdot 1) sin(pi3 cdot 2) e^-3 .
Primeiro, substituímos partial Vpartial yg|P = sin(pi2 cdot 1) cdot pi3 cos(pi3 cdot 2) e^-3 , partial Vpartial zg|P = -sin(pi2 cdot 1) sin(pi3 cdot 2) e^-3 , e pi2 cos(pi2) sin(2pi3) e^-3 = pi2 cdot 0 cdot sin(2pi3) e^-3 = 0 nas derivadas parciais:
  1. Para sin(pi2) cdot pi3 cos(2pi3) e^-3 = 1 cdot pi3 cdot (-12) e^-3 = -pi6 e^-3 em -1 cdot sin(2pi3) e^-3 = -sin(2pi3) e^-3 = -raiz32 e^-3 :
nabla V|P = (0, -pi6 e^-3, -raiz32 e^-3 )
  1. Para em :
  1. Para em :
Vamos calcular cada termo:
Então:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Então, o gradiente em é:

Passo 5

Parte a) Queremos a magnitude e a direção da taxa máxima de aumento de |nabla V|P| = raiz (0)^2 + (-pi6 e^-3)^2 + (-raiz32 e^-3)^2 = e^-3 raiz0 + (pi6)^2 + (raiz32)^2 em raiz (pi6)^2 + (raiz32)^2 = raiz pi^236 + 34 = raiz pi^2 + 2736 = raiz pi^2 + 27 6 .
A direção da taxa máxima de aumento é dada pelo gradiente |nabla V|P| = raiz pi^2 + 27 6 e^-3 no ponto. A magnitude desse vetor é a norma do gradiente.
Então:
  1. Direção: É o próprio vetor gradiente.
  2. Magnitude:
Calculando:
Portanto:

Passo 6

Parte b) Queremos a taxa de aumento de u = -1 -2 -3 em u = u | u | = -1 -2 -3 raiz (-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = -1 -2 -3 raiz1 + 4 + 9 = -1 -2 -3 raiz14 na direção da origem.
Primeiro, precisamos determinar o vetor de direção na direção da origem a partir de Du V = nabla V|P cdot u .
O vetor que aponta de nabla V|P = (0, -pi6 e^-3, -raiz32 e^-3 ) para a origem é:
u = -1 -2 -3 raiz14
Mas para usar na fórmula, precisamos normalizar esse vetor (ou seja, transformá-lo em um vetor unitário).
Então, a direção unitaria Du V = 0 cdot ( -1raiz14 ) + ( -pi6 e^-3 ) cdot ( -2raiz14 ) + ( -raiz32 e^-3 ) cdot ( -3raiz14 ) é:
Du V = 2pi6 raiz14 e^-3 + 3raiz32 raiz14 e^-3 = ( pi3 raiz14 + 3raiz32 raiz14 ) e^-3
Agora, a taxa de mudança de na direção de é o produto escalar do gradiente com :
Substituindo os valores:
Então:
Simplificando:

Resposta

a) A magnitude da taxa máxima de aumento de em é e a direção é no sentido do gradiente .
b) A taxa de aumento de em na direção da origem é .

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