For a scalar function
and a vector function
, prove that
in Cartesian coordinates.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que, para uma função escalar
e uma função vetorial
, vale:
Esse problema está na área de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo operadores diferenciais em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos usar as definições de divergente e o produto de uma função escalar por um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. Em coordenadas cartesianas, para um vetor
, o divergente é dado por:
E para o produto de uma função escalar
por um vetor
, temos
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
:
Aqui, aplicamos a definição de divergente ao vetor
.
Passo 4
Vamos expandir cada derivada usando a regra do produto, que afirma que
, onde
representa cada coordenada
:
Passo 5
Agora, somamos todas essas expressões:
Passo 6
Vamos organizar os termos com
e os termos com
separados:
Passo 7
Observamos que a primeira parte dentro dos parênteses é exatamente o divergente de
:
E a segunda parte pode ser escrita como o produto escalar de
com o gradiente de
:
Resposta
Portanto, juntando tudo, temos: