For a scalar function f and a vector function A, prove that
nabla cdot(f A)=f nabla cdot A+A cdot nabla f
in Cartesian coordinates.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que, para uma função escalar nabla cdot (f A) = f nabla cdot A + A cdot nabla f e uma função vetorial , vale:
Esse problema está na área de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo operadores diferenciais em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos usar as definições de divergente e o produto de uma função escalar por um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. Em coordenadas cartesianas, para um vetor nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z , o divergente é dado por:
E para o produto de uma função escalar por um vetor , temos .

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de nabla cdot (f A) = partial (f Ax)partial x + partial (f Ay)partial y + partial (f Az)partial z :
Aqui, aplicamos a definição de divergente ao vetor .

Passo 4

Vamos expandir cada derivada usando a regra do produto, que afirma que partial (f Ax)partial x = f partial Axpartial x + Ax partial fpartial x , onde partial (f Ay)partial y = f partial Aypartial y + Ay partial fpartial y representa cada coordenada partial (f Az)partial z = f partial Azpartial z + Az partial fpartial z :

Passo 5

Agora, somamos todas essas expressões:
nabla cdot (f A) = ( f partial Axpartial x + Ax partial fpartial x ) + ( f partial Aypartial y + Ay partial fpartial y ) + ( f partial Azpartial z + Az partial fpartial z )

Passo 6

Vamos organizar os termos com nabla cdot (f A) = f ( partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z ) + ( Ax partial fpartial x + Ay partial fpartial y + Az partial fpartial z ) e os termos com separados:

Passo 7

Observamos que a primeira parte dentro dos parênteses é exatamente o divergente de partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z = nabla cdot A :
Ax partial fpartial x + Ay partial fpartial y + Az partial fpartial z = A cdot nabla f
E a segunda parte pode ser escrita como o produto escalar de com o gradiente de :

Resposta

Portanto, juntando tudo, temos:
nabla cdot (f A) = f nabla cdot A + A cdot nabla f

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