Foram registradas 50 pessoas em uma amostra, cujo objetivo era verificar quantas vezes elas iriam ao hospital no mês de janeiro. A tabela explica as quantidades de idas ao hospital e a quantidade de pessoas que foram 0,1,2, 3 e mais de três vezes. Baseado nesses dados, verifique com uma significância de 10 % se a distribuição observada na ida ao hospital por parte das pessoas representa uma distribuição de Poisson com lambda=1.
Idas ao Hospital Quantidade de Pessoas
0 15
1 15
2 8
3 7
>3 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é verificar se a distribuição de idas ao hospital segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda = 1. Para isso, vamos usar testes de hipóteses, que é uma técnica de estatística que ajuda a decidir se os dados que temos se encaixam ou não em um modelo teórico. Precisamos calcular as frequências esperadas usando a distribuição de Poisson e comparar com as frequências observadas na nossa amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): A distribuição das idas ao hospital segue uma distribuição de Poisson com lambda = 1.
  • Hipótese Alternativa ( Ha): A distribuição das idas ao hospital não segue uma distribuição de Poisson com lambda = 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular as frequências esperadas para cada categoria de idas ao hospital usando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde k é o número de idas ao hospital.

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades para k = 0, 1, 2, 3 e k > 3:
  • Para k = 0:
P(0) = e^-1 cdot 1^00! = e^-1 approx 0,3679
  • Para k = 1:
P(1) = e^-1 cdot 1^11! = e^-1 approx 0,3679
  • Para k = 2:
P(2) = e^-1 cdot 1^22! = e^-12 approx 0,1839
  • Para k = 3:
P(3) = e^-1 cdot 1^33! = e^-16 approx 0,0613
  • Para k > 3, somamos as probabilidades de k = 4, 5, dots:
P(k > 3) = 1 - (P(0) + P(1) + P(2) + P(3)) approx 1 - (0,3679 + 0,3679 + 0,1839 + 0,0613) approx 0,0290

Passo 5

Agora, multiplicamos essas probabilidades pelo total de pessoas na amostra (50) para obter as frequências esperadas:
  • E(0) = 50 times 0,3679 approx 18,40
  • E(1) = 50 times 0,3679 approx 18,40
  • E(2) = 50 times 0,1839 approx 9,20
  • E(3) = 50 times 0,0613 approx 3,07
  • E(k > 3) = 50 times 0,0290 approx 1,45

Passo 6

Agora, vamos tabular as frequências observadas ( O) e esperadas ( E):
Idas ao Hospital Observado ( O) Esperado ( E)
0 15 18,40
1 15 18,40
2 8 9,20
3 7 3,07
>3 5 1,45

Passo 7

Vamos calcular o valor do qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (O - E)^2E
Calculando para cada categoria:
  • Para 0 idas:
(15 - 18,40)^218,40 approx 11,5618,40 approx 0,63
  • Para 1 ida:
(15 - 18,40)^218,40 approx 11,5618,40 approx 0,63
  • Para 2 idas:
(8 - 9,20)^29,20 approx 1,449,20 approx 0,16
  • Para 3 idas:
(7 - 3,07)^23,07 approx 15,523,07 approx 5,05
  • Para mais de 3 idas:
(5 - 1,45)^21,45 approx 12,601,45 approx 8,69

Passo 8

Somando todos os valores:
chi^2 approx 0,63 + 0,63 + 0,16 + 5,05 + 8,69 = 15,16

Passo 9

Precisamos verificar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nosso teste. O grau de liberdade ( df) é igual ao número de categorias menos 1, então df = 5 - 1 = 4. Com um nível de significância de 10% ( alpha = 0,10), o valor crítico é aproximadamente 7,78.

Passo 10

Comparando nosso valor calculado com o valor crítico:
15,16 > 7,78
Como 15,16 é maior que 7,78, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 10%, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que a distribuição observada das idas ao hospital não segue uma distribuição de Poisson com lambda = 1.

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