Uma moeda é jogada 100 vezes e seus resultados são: 63 Caras e 37 Coroas. Com uma significância de 5%, podemos dizer que a moeda é viciada?

Passo 1

Vamos lá! Você jogou uma moeda 100 vezes e saiu 63 Caras e 37 Coroas. A pergunta é: Com uma significância de 5%, podemos dizer que a moeda é viciada?
Aqui, vamos usar Estatística, mais especificamente o teste de Hipótese para verificar se a moeda é justa ou não com base nos resultados obtidos.

Passo 2

Primeiro, precisamos formular duas hipóteses:
  • Hipótese Nula ( ): A moeda não é viciada. Isso significa que a probabilidade de dar Cara ( ) é 0,5.
  • Hipótese Alternativa ( ): A moeda é viciada. Aqui, podemos considerar que a probabilidade de dar Cara é diferente de 0,5.

Passo 3

Vamos usar o Teste Binomial para verificar se a diferença entre o número observado de Caras (63) e o esperado (50) é estatisticamente significativa.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • (número de lançamentos)
  • (número de Caras observadas)
  • (probabilidade esperada de Cara em cada lançamento)

Passo 4

Calculamos a probabilidade de obter exatamente 63 Caras:
P(X = 63) = binom10063 (0,5)^63 (0,5)^37 = binom10063 (0,5)^100
No entanto, para o teste, precisamos considerar a probabilidade de obter 63 ou mais Caras (já que estamos verificando se há viés para Caras).

Passo 5

Usamos a Distribuição Normal como aproximação, já que mu = n times p = 100 times 0,5 = 50 é grande. A média ( sigma = raizn times p times (1-p) = raiz100 times 0,5 times 0,5 = 5 ) e o desvio padrão ( Z = X - musigma = 63 - 505 = 135 = 2,6 ) da distribuição são:
Calculamos o valor Z:

Passo 6

Consultando a tabela Z, um valor de 2,6 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,0047 (ou 0,47%).
Como estamos realizando um teste bilateral (já que a moeda pode ser viciada para Cara ou Coroa), multiplicamos essa probabilidade por 2:
P = 0,0047 times 2 = 0,0094 ou 0,94%

Passo 7

Comparamos essa probabilidade com o nível de significância de 5% ( 0,94% < 5% ):
Como , rejeitamos a Hipótese Nula.

Resposta

Sim, com uma significância de 5%, podemos concluir que a moeda é viciada, já que a diferença observada nas Caras é estatisticamente significativa.

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