Uma força age sobre uma partícula de
de modo que a posição da partícula como uma função do tempo é dada por
. (a) Determine o trabalho realizado pela força durante os primeiros 4,0 s. (b) Qual é a taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho sobre a partícula no instante
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou fala sobre uma força agindo em uma partícula de massa
. A posição dessa partícula em função do tempo
é dada por
. Temos duas partes para resolver:
a) Calcular o trabalho realizado pela força nos primeiros
.
b) Encontrar a taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho no instante
.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática (para entender como a posição, velocidade e aceleração estão relacionadas) e de dinâmica (para relacionar força e trabalho).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Para encontrar o trabalho realizado pela força, precisamos usar a fórmula do trabalho:
Onde:
-
é o trabalho, -
é a força em função do tempo, -
é a velocidade em função do tempo, -
e são os instantes iniciais e finais (no nosso caso, de a ).
Para isso, precisamos primeiro encontrar
e
.
Passo 3
Vamos encontrar a velocidade
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Agora, vamos encontrar a aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Com a aceleração, podemos encontrar a força usando a segunda lei de Newton:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos calcular o trabalho
:
Vamos multiplicar as expressões:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Simplificando as frações:
Agora, substituímos
e
:
Calculando cada parte:
Somando todos:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), que pede a taxa instantânea de trabalho no instante
. Isso é conhecido como potência instantânea, dada por:
Já temos as expressões para
e
. Vamos substituí-las:
Multiplicando:
Resposta
(a) O trabalho realizado pela força nos primeiros
é de
.
(b) A taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho no instante
é de
.