Uma força age sobre uma partícula de 2,80 kg de modo que a posição da partícula como uma função do tempo é dada por x=3,0 t-4,0 t^2+t^3. (a) Determine o trabalho realizado pela força durante os primeiros 4,0 s. (b) Qual é a taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho sobre a partícula no instante t=3,0 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou fala sobre uma força agindo em uma partícula de massa 2,80, kg. A posição dessa partícula em função do tempo t é dada por x = 3,0t - 4,0t^2 + t^3. Temos duas partes para resolver:
a) Calcular o trabalho realizado pela força nos primeiros 4,0, s.
b) Encontrar a taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho no instante t = 3,0, s.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática (para entender como a posição, velocidade e aceleração estão relacionadas) e de dinâmica (para relacionar força e trabalho).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Para encontrar o trabalho realizado pela força, precisamos usar a fórmula do trabalho:
W = integralt1^t2 F(t) cdot v(t) , dt
Onde:
  • W é o trabalho,
  • F(t) é a força em função do tempo,
  • v(t) é a velocidade em função do tempo,
  • t1 e t2 são os instantes iniciais e finais (no nosso caso, de 0 a 4,0, s).
Para isso, precisamos primeiro encontrar v(t) e F(t).

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade v(t). Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = ddt(3,0t - 4,0t^2 + t^3) = 3,0 - 8,0t + 3t^2
Agora, vamos encontrar a aceleração a(t), que é a derivada da velocidade:
a(t) = dvdt = ddt(3,0 - 8,0t + 3t^2) = -8,0 + 6t
Com a aceleração, podemos encontrar a força usando a segunda lei de Newton:
F(t) = m cdot a(t) = 2,80, kg cdot (-8,0 + 6t) = -22,4 + 16,8t (em N)

Passo 4

Agora que temos F(t) e v(t), vamos calcular o trabalho W:
W = integral0^4,0 F(t) cdot v(t) , dt = integral0^4,0 (-22,4 + 16,8t) cdot (3,0 - 8,0t + 3t^2) , dt
Vamos multiplicar as expressões:
(-22,4)(3,0) + (-22,4)(-8,0t) + (-22,4)(3t^2) + (16,8t)(3,0) + (16,8t)(-8,0t) + (16,8t)(3t^2)
= -67,2 + 179,2t - 67,2t^2 + 50,4t - 134,4t^2 + 50,4t^3
Agora, somamos os termos semelhantes:
W = integral0^4,0 (-67,2 + (179,2 + 50,4)t + (-67,2 - 134,4)t^2 + 50,4t^3) , dt
W = integral0^4,0 (-67,2 + 229,6t - 201,6t^2 + 50,4t^3) , dt

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
W = [ -67,2t + 229,62t^2 - 201,63t^3 + 50,44t^4 ]0^4,0
Simplificando as frações:
W = [ -67,2t + 114,8t^2 - 67,2t^3 + 12,6t^4 ]0^4,0
Agora, substituímos t = 4,0, s e t = 0, s:
W = (-67,2 times 4,0) + (114,8 times 16) - (67,2 times 64) + (12,6 times 256) - [0]
Calculando cada parte:
-67,2 times 4,0 = -268,8
114,8 times 16 = 1.836,8
-67,2 times 64 = -4.300,8
12,6 times 256 = 3.225,6
Somando todos:
W = -268,8 + 1.836,8 - 4.300,8 + 3.225,6 = 1.492,8, J

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), que pede a taxa instantânea de trabalho no instante t = 3,0, s. Isso é conhecido como potência instantânea, dada por:
P(t) = F(t) cdot v(t)
Já temos as expressões para F(t) e v(t). Vamos substituí-las:
F(3) = -22,4 + 16,8 times 3 = -22,4 + 50,4 = 28,0, N
v(3) = 3,0 - 8,0 times 3 + 3 times 3^2 = 3,0 - 24,0 + 27,0 = 6,0, m/s
Multiplicando:
P(3) = 28,0 times 6,0 = 168,0, W

Resposta

(a) O trabalho realizado pela força nos primeiros 4,0, s é de 1.492,8, J.
(b) A taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho no instante t = 3,0, s é de 168,0, W.

Exercícios relacionados