Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos thetay=55^circ e thetaz=45^circ. Sabendo que a componente x da força é -500 N , determine: as outras componentes e o módulo da força.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma força aplicada na origem com direção determinada pelos ângulos thetay=55^circ e thetaz=45^circ. Sabemos que a componente x dessa força é -500 N. Nosso objetivo é encontrar as componentes y e z dessa força e, finalmente, calcular o módulo total da força. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as componentes de uma força em 3D são relacionadas aos seus ângulos com os eixos. Se temos uma força F com componentes Fx, Fy e Fz, e os ângulos que ela forma com os eixos x, y e z são thetax, thetay e thetaz, respectivamente, então podemos escrever:
Fx = F cdot cos(thetax)
Fy = F cdot cos(thetay)
Fz = F cdot cos(thetaz)
Onde F é o módulo da força.

Passo 3

No entanto, no nosso caso, não temos o ângulo thetax diretamente. Mas sabemos que em um espaço tridimensional, os ângulos com os três eixos estão relacionados pela seguinte equação:
cos^2(thetax) + cos^2(thetay) + cos^2(thetaz) = 1
Como já temos thetay e thetaz, podemos usar essa rela��ão para encontrar cos(thetax).

Passo 4

Vamos calcular cos(thetay) e cos(thetaz):
cos(55^circ) approx 0,5736
cos(45^circ) approx 0,7071
Agora, substituindo na equação:
cos^2(thetax) + (0,5736)^2 + (0,7071)^2 = 1
cos^2(thetax) + 0,3290 + 0,5000 = 1
cos^2(thetax) = 1 - 0,8290
cos^2(thetax) = 0,1710
cos(thetax) = raiz0,1710 approx 0,4136

Passo 5

Agora que temos cos(thetax), podemos usar a relação Fx = F cdot cos(thetax) para encontrar o módulo F da força:
Fx = F cdot cos(thetax)
-500 = F cdot 0,4136
F = -5000,4136 approx -1208,5 , N
Como estamos falando de magnitude, consideramos o valor positivo:
F approx 1208,5 , N

Passo 6

Agora, vamos encontrar as componentes Fy e Fz usando os ângulos dados:
Fy = F cdot cos(thetay) = 1208,5 cdot 0,5736 approx 692,4 , N
Fz = F cdot cos(thetaz) = 1208,5 cdot 0,7071 approx 853,6 , N

Resposta

As componentes da força são:
Fx = -500 , N
Fy approx 692,4 , N
Fz approx 853,6 , N
E o módulo da força é aproximadamente 1208,5 , N.

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