A força que atua numa partícula varia com a posição de acordo com a lei de potência
F(x)=-k x^n
Determine os pontos de retorno do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma força que age em uma partícula e que depende da posição dela, seguindo uma lei de potência. O conteúdo aqui envolve leis de força, energia potencial e movimento. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar a força com a energia e encontrar os pontos onde o movimento da partícula para, ou seja, os pontos de retorno.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um ponto de retorno. Esse é o ponto onde a partícula para momentaneamente antes de mudar de direção. Para encontrar esses pontos, usamos o conceito de energia mecânica. A energia total da partícula é a soma da energia cinética (de movimento) e da energia potencial (de posição).

Passo 3

A força que atua na partícula está dada por U(x) = -integral F(x) , dx = integral k x^n , dx = kn + 1 x^n + 1 + C . Para relacionar isso com a energia, precisamos encontrar a energia potencial . Sabemos que , então podemos integrar a força para achar :
Vamos ignorar a constante porque ela não afeta os pontos de retorno.

Passo 4

No ponto de retorno, a velocidade da partícula é zero, ou seja, toda a energia mecânica está na forma de energia potencial. Então, a energia total E = kn + 1 x^n + 1 é igual à energia potencial x^n + 1 = E (n + 1)k :
x = ( E (n + 1)k )^1n + 1
Agora, queremos achar , que são os pontos de retorno:

Resposta

Os pontos de retorno do movimento estão em .

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