A força que atua numa partícula varia com a posição de acordo com a lei de potência
F(x)=-k x^n
Encontre a função energia potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física onde a força que age numa partícula depende da posição dela conforme uma lei de potência. A equação dada é:
F(x) = -k x^n
Nosso objetivo aqui é encontrar a função de energia potencial associada a essa força. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho e energia na mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força e a energia potencial estão relacionadas de uma forma específica. A força é o negativo da derivada da energia potencial em relação à posição. Em termos de cálculo, isso é escrito como:
F(x) = -dU(x)dx
Isso significa que para encontrar a energia potencial , a gente precisa fazer a operação inversa: integrar a força em relação a .

Passo 3

Então, vamos rearranjar a equação para integrar:
dU(x)dx = -F(x)
Substituindo a expressão da força que a gente tem:
dU(x)dx = -(-k x^n) = k x^n
Agora, para encontrar U(x) = integral k x^n , dx , vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 4

Vamos realizar essa integração. A integral de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C em relação a U(x) = k ( x^n+1n+1 ) + C é:
Onde é a constante de integração. Portanto, temos:

Passo 5

Normalmente, a constante de integração U(0) = k ( 0^n+1n+1 ) + C = 0 + C = 0 é definida de forma que a energia potencial seja zero em algum ponto específico. Geralmente, escolhemos . Substituindo :
Isso implica que . Então, a expressão final da energia potencial fica:

Resposta

U(x) = kn + 1 , x^n+1

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