Encontre a velocidade
em função do deslocamento
de uma partícula de massa
que parte do repouso em
sujeita às seguintes forças:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa
que começa do repouso em
. Ela está sujeita a uma força que depende da velocidade:
. Nosso objetivo é descobrir como a velocidade
dela varia em função do deslocamento
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica e cálculo, especialmente relacionando força, movimento e integração.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a força resultante
sobre a partícula é igual à massa
multiplicada pela aceleração
, ou seja,
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
. Então, temos:
Passo 3
Mas queremos a velocidade em função do deslocamento
, não do tempo
. Para isso, usamos a relação
. Substituindo na equação da força:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas isso complica um pouco, então vamos reorganizar de outra forma:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo em termos de
e do lado direito em termos de
:
Para resolver a integral à esquerda, fazemos uma substituição:
Substituindo:
Voltando para
:
Como a partícula parte do repouso em
, quando
:
Substituindo
de volta:
Resposta
Resolvendo a equação acima para
em função de
, temos: