Encontre a velocidade v em função do deslocamento x de uma partícula de massa m que parte do repouso em x=0 sujeita às seguintes forças:
F=F0+k v

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa m que começa do repouso em x=0. Ela está sujeita a uma força que depende da velocidade: F = F0 + k v. Nosso objetivo é descobrir como a velocidade v dela varia em função do deslocamento x. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica e cálculo, especialmente relacionando força, movimento e integração.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a força resultante F sobre a partícula é igual à massa m multiplicada pela aceleração a, ou seja, F = m a. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, a = dvdt. Então, temos:
F = m dvdt = F0 + k v

Passo 3

Mas queremos a velocidade em função do deslocamento x, não do tempo t. Para isso, usamos a relação a = dvdt = v dvdx. Substituindo na equação da força:
m v dvdx = F0 + k v

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Primeiro, dividimos ambos os lados por v:
m dvdx = F0v + k
Rearranjando:
m dvdx - k = F0v
Multiplicando ambos os lados por dx:
(m dvdx - k) dx = F0v dx
Mas isso complica um pouco, então vamos reorganizar de outra forma:
m v dvdx = F0 + k v
Dividindo ambos os lados por F0 + k v:
m vF0 + k v dv = dx

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo em termos de v e do lado direito em termos de x:
integral m vF0 + k v dv = integral dx
Para resolver a integral à esquerda, fazemos uma substituição:
u = F0 + k v Rightarrow du = k dv Rightarrow dv = duk
Substituindo:
integral m vu cdot duk = mk integral u - F0u du = mk integral (1 - F0u) du = mk (u - F0 ln u) + C
Voltando para v:
mk (F0 + k v - F0 ln(F0 + k v)) = x + C
Como a partícula parte do repouso em x=0, quando v=0:
mk (F0 - F0 ln F0) = 0 + C Rightarrow C = m F0k (1 - ln F0)
Substituindo C de volta:
mk (F0 + k v - F0 ln(F0 + k v)) = x + m F0k (1 - ln F0)

Resposta

Resolvendo a equação acima para v em função de x, temos:
v(x) = F0k ( e^k xm - 1 )

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