A força constante F=(3,2,1) N está sendo aplicada sobre um veículo para movê-lo na trajetória retilínea do ponto A(1,1,0) m ao ponto B(2,3,0) m. As distâncias estâo em metros ( m ); a força, em Newtons ( N ); e a unidade de trabalho, em Joules (J). A grandeza física trabalho é o produto escalar F cdot d, em que d=A B é o vetor deslocamento.
O trabalho realizado pela força para deslocar o veículo entre os pontos A e B, e o ângulo entre os vetores força e deslocamento sâo, respectivamente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma força constante F = (3, 2, 1) N que está movendo um carro de um ponto A(1,1,0) m para um ponto B(2,3,0) m numa linha reta. O que a gente precisa descobrir é o trabalho realizado por essa força nessa movimentação e o ângulo entre a força e o deslocamento. Para isso, vamos precisar usar o produto escalar de vetores e entender como calcular o trabalho e o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor deslocamento d = AB. Isso é feito subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:
d = B - A = (2-1, 3-1, 0-0) = (1, 2, 0) , m

Passo 3

Agora, para calcular o trabalho ( W) realizado pela força, usamos a fórmula do produto escalar:
W = F cdot d = Fx dx + Fy dy + Fz dz
Substituindo os valores:
W = (3)(1) + (2)(2) + (1)(0) = 3 + 4 + 0 = 7 , J

Passo 4

Para achar o ângulo ( theta) entre a força e o deslocamento, usamos a relação do produto escalar:
F cdot d = |F| , |d| , cos(theta)
Já sabemos que F cdot d = 7 J. Vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|F| = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14
|d| = raiz1^2 + 2^2 + 0^2 = raiz1 + 4 + 0 = raiz5
Agora, isolamos cos(theta):
cos(theta) = W|F| , |d| = 7raiz14 times raiz5 = 7raiz70 = 7raiz70 times raiz70raiz70 = 7raiz7070 = raiz7010
Finalmente, calculamos o ângulo:
theta = arccos(raiz7010) approx 23,2^circ

Resposta

O trabalho realizado pela força é de 7 Joules e o ângulo entre a força e o deslocamento é de aproximadamente 23,2 graus.

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