A função de onda dependente do tempo de uma partícula confinada em uma região entre 0 e L é psi(x, t)=A e^-i omega t sin sin (pi xL), onde omega é a frequência angular e E é a energia da partícula. Calcule o valor esperado da posição lang<= xrang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda dependente do tempo para uma partícula confinada entre 0 e psi(x, t) = A e^-i omega t sin(pi xL) :
Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado da posição, que é representado por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valores esperados. Primeiro, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada, ou seja, que a probabilidade total da partícula estar em algum lugar entre 0 e seja igual a 1. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa encontrar o valor de integral0^L |psi(x, t)|^2 dx = 1 tal que a integral do módulo ao quadrado de |psi(x, t)|^2 = psi^*(x, t) psi(x, t) = A^2 e^i omega t e^-i omega t sin^2(pi xL) = A^2 sin^2(pi xL) de 0 a A^2 integral0^L sin^2(pi xL) dx = 1 seja igual a 1:
integral sin^2(ax) dx = x2 - sin(2ax)4a + C
Vamos calcular A^2 [ x2 - sin(2pi xL) 2piL times 4 ]0^L = 1 :
A^2 ( L2 ) = 1 implies A = raiz2L
Então, a condição de normalização fica:
Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Depois de calcular os limites, simplificamos e encontramos:

Passo 3

Agora que encontramos lang<= x rang<= = integral0^L psi^*(x, t) , x , psi(x, t) dx , vamos calcular o valor esperado da posição lang<= x rang<= = integral0^L ( raiz2L sin(pi xL) )^* x ( raiz2L sin(pi xL) ) dx . O valor esperado é dado por:
lang<= x rang<= = 2L integral0^L x sin^2(pi xL) dx
Substituindo e :
Como , temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral0^L x sin^2(pi xL) dx
Usando a identidade trigonométrica integral0^L x ( 1 - cos(2pi xL)2 ) dx = 12 integral0^L x dx - 12 integral0^L x cos(2pi xL) dx , temos:
12 [ x cdot L2pi sin(2pi xL) g|0^L - L2pi integral0^L sin(2pi xL) dx ] = 0
Calculando as integrais separadamente:
  1. Para , usamos integração por partes:
    Seja e , então e .
    Aplicando integração por partes:
    Isso porque e a segunda integral também é zero.
Portanto, a integral original é .

Resposta

Finalizando, o valor esperado da posição é:
lang<= x rang<= = 2L times L^24 = L2
Então, .

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