A função de onda dependente do tempo de uma partícula confinada em uma região entre 0 e L é , onde é a frequência angular e é a energia da partícula. Calcule o valor esperado da posição .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda dependente do tempo para uma partícula confinada entre 0 e :
Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado da posição, que é representado por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valores esperados. Primeiro, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada, ou seja, que a probabilidade total da partícula estar em algum lugar entre 0 e seja igual a 1. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa encontrar o valor de tal que a integral do módulo ao quadrado de de 0 a seja igual a 1:
Vamos calcular :
Então, a condição de normalização fica:
Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Depois de calcular os limites, simplificamos e encontramos:
Passo 3
Agora que encontramos , vamos calcular o valor esperado da posição . O valor esperado é dado por: