Para a força dada, determine a expressão vetorial em coordenadas retangulares, o vetor unitário e os respectivos ângulos diretores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a expressão vetorial de uma força em coordenadas retangulares, encontrar o vetor unitário dessa força e também calcular os ângulos diretores. Isso tudo envolve entender vetores no espaço, decomposição em componentes, normalização e trigonometria para os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a força em coordenadas retangulares. Suponha que a força seja dada pelas suas componentes nas direções , e . Então, podemos escrever:
Aqui, , e são as componentes da força nas direções , e respectivamente, e , , são os vetores unitários nessas direções.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor unitário da força. O vetor unitário é um vetor com magnitude igual a 1 que aponta na mesma direção da força original. Para isso, dividimos cada componente da força pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Por último, vamos calcular os ângulos diretores da força em relação aos eixos , e . Esses ângulos são os ângulos que o vetor força faz com cada um dos eixos coordenados.
Usamos a relação dos cossenos para encontrar cada ângulo:
Onde:
  • é o ângulo com o eixo ,
  • com o eixo ,
  • com o eixo .
Para encontrar os ângulos, usamos a função arco cosseno (cos⁻¹):

Resposta

Portanto, a expressão vetorial em coordenadas retangulares da força é:
O vetor unitário associado é:
E os respectivos ângulos diretores são:

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