Para a força dada, determine a expressão vetorial em coordenadas retangulares, o vetor unitário e os respectivos ângulos diretores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a expressão vetorial de uma força em coordenadas retangulares, encontrar o vetor unitário dessa força e também calcular os ângulos diretores. Isso tudo envolve entender vetores no espaço, decomposição em componentes, normalização e trigonometria para os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a força em coordenadas retangulares. Suponha que a força F = Fx i + Fy j + Fz k seja dada pelas suas componentes nas direções , e . Então, podemos escrever:
Aqui, , e são as componentes da força nas direções , e respectivamente, e , , são os vetores unitários nessas direções.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor unitário da força. O vetor unitário é um vetor com magnitude igual a 1 que aponta na mesma direção da força original. Para isso, dividimos cada componente da força pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de |F| = raizFx^2 + Fy^2 + Fz^2 :
u = F|F| = Fx|F| i + Fy|F| j + Fz|F| k
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Por último, vamos calcular os ângulos diretores da força em relação aos eixos cos(alpha) = Fx|F| , cos(beta) = Fy|F| e cos(gamma) = Fz|F| . Esses ângulos são os ângulos que o vetor força faz com cada um dos eixos coordenados.
Usamos a relação dos cossenos para encontrar cada ângulo:
alpha = cos^-1(Fx|F|)
beta = cos^-1(Fy|F|)
gamma = cos^-1(Fz|F|)
Onde:
  • é o ângulo com o eixo ,
  • com o eixo ,
  • com o eixo .
Para encontrar os ângulos, usamos a função arco cosseno (cos⁻¹):

Resposta

Portanto, a expressão vetorial em coordenadas retangulares da força F = Fx i + Fy j + Fz k é:
u = Fx|F| i + Fy|F| j + Fz|F| k
O vetor unitário associado é:
alpha = cos^-1(Fx|F|), beta = cos^-1(Fy|F|), gamma = cos^-1(Fz|F|)
E os respectivos ângulos diretores são:

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