Para a força dada, determine a expressão vetorial em coordenadas retangulares, o vetor unitário e os respectivos ângulos diretores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a expressão vetorial de uma força em coordenadas retangulares, encontrar o vetor unitário dessa força e também calcular os ângulos diretores. Isso tudo envolve entender vetores no espaço, decomposição em componentes, normalização e trigonometria para os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a força em coordenadas retangulares. Suponha que a força
seja dada pelas suas componentes nas direções
,
e
. Então, podemos escrever:
Aqui,
,
e
são as componentes da força nas direções
,
e
respectivamente, e
,
,
são os vetores unitários nessas direções.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor unitário da força. O vetor unitário é um vetor com magnitude igual a 1 que aponta na mesma direção da força original. Para isso, dividimos cada componente da força pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Por último, vamos calcular os ângulos diretores da força em relação aos eixos
,
e
. Esses ângulos são os ângulos que o vetor força faz com cada um dos eixos coordenados.
Usamos a relação dos cossenos para encontrar cada ângulo:
Onde:
-
é o ângulo com o eixo , -
com o eixo , -
com o eixo .
Para encontrar os ângulos, usamos a função arco cosseno (cos⁻¹):
Resposta
Portanto, a expressão vetorial em coordenadas retangulares da força
é:
O vetor unitário associado é:
E os respectivos ângulos diretores são:
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