Força elétrica dentro do átomo. Vamos comparar os valores típicos entre intensidade da força gravitacional Fg e a força eletrostática Fe entre um elétron e um próton no interior do átomo de hidrogênio. Para isso, considere dados: raio médio do átomo a0=0,53 AA carga elétrica do elétron e=1,6 times 10^-19 C massa do próton mp=1,67 times 10^-27 kg constante de gravitação universal G=6,7 times 10^-11 N cdot m^2 / kg massa do elétron me=9,11 times 10^-31 kg permissividade elétrica do vácuo varepsilon0=8,85 times 10^-12 C^2 cdot N^-1 cdot m^-2.
(a) Determine a razão Fe / Fg. É razoável, neste regime de distâncias, desprezar o efeito de uma dessas forças? Justifique.
(b) Determine a velocidade de rotação omega do elétron em torno do próton.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que compara a força gravitacional ( Fg) e a força eletrostática ( Fe) entre um elétron e um próton no átomo de hidrogênio. Além disso, vamos calcular a velocidade de rotação do elétron em torno do próton. Para isso, vamos precisar das leis da gravitação universal de Newton e da lei de Coulomb para forças eletrostáticas, além de conceitos de movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força eletrostática ( Fe) entre o elétron e o próton usando a Lei de Coulomb. A fórmula para essa força é:
Fe = 14pivarepsilon0 cdot e^2a0^2
Onde:
  • e é a carga elétrica do elétron,
  • a0 é o raio médio do átomo,
  • varepsilon0 é a permissividade elétrica do vácuo.

Passo 3

Substituindo os valores dados na fórmula:
Fe = 14pi times 8,85 times 10^-12 , C^2 cdot N^-1 cdot m^-2 cdot (1,6 times 10^-19 , C)^2(0,53 times 10^-10 , m)^2
Calculando passo a passo:
  1. Calculamos e^2 = (1,6 times 10^-19)^2 = 2,56 times 10^-38 , C^2.
  2. Calculamos a0^2 = (0,53 times 10^-10)^2 = 2,809 times 10^-21 , m^2.
  3. Dividimos e^2 por a0^2: 2,56 times 10^-382,809 times 10^-21 approx 9,10 times 10^-18 , C^2 cdot m^-2.
  4. Dividimos por 4pivarepsilon0: 14pi times 8,85 times 10^-12 approx 9 times 10^9 , N cdot m^2 cdot C^-2.
  5. Multiplicamos os resultados: 9 times 10^9 times 9,10 times 10^-18 approx 8,19 times 10^-8 , N.
Então, Fe approx 8,19 times 10^-8 , N.

Passo 4

Agora, vamos calcular a força gravitacional ( Fg) entre o elétron e o próton usando a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Fg = G cdot me cdot mpa0^2
Onde:
  • G é a constante de gravitação universal,
  • me é a massa do elétron,
  • mp é a massa do próton.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Fg = 6,7 times 10^-11 , N cdot m^2 / kg^2 cdot 9,11 times 10^-31 , kg times 1,67 times 10^-27 , kg(0,53 times 10^-10 , m)^2
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicamos as massas: 9,11 times 10^-31 times 1,67 times 10^-27 approx 1,52 times 10^-57 , kg^2.
  2. Calculamos a0^2 = (0,53 times 10^-10)^2 = 2,809 times 10^-21 , m^2.
  3. Dividimos as massas pelo quadrado do raio: 1,52 times 10^-572,809 times 10^-21 approx 5,41 times 10^-37 , kg^2 cdot m^-2.
  4. Multiplicamos pelo G: 6,7 times 10^-11 times 5,41 times 10^-37 approx 3,63 times 10^-47 , N.
Então, Fg approx 3,63 times 10^-47 , N.

Passo 6

Vamos agora determinar a razão entre as forças eletrostática e gravitacional:
FeFg = 8,19 times 10^-8 , N3,63 times 10^-47 , N approx 2,25 times 10^39

Passo 7

A razão Fe / Fg approx 2,25 times 10^39 indica que a força eletrostática é enormemente maior que a força gravitacional no interior do átomo de hidrogênio. Portanto, é completamente razoável desprezar o efeito da força gravitacional nesse regime de distâncias.

Passo 8

Agora, vamos calcular a velocidade de rotação ( omega) do elétron em torno do próton. Para isso, consideramos que a força eletrostática fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
Fe = me cdot omega^2 cdot a0
Resolvendo para omega:
omega = raizFeme cdot a0

Passo 9

Substituindo os valores:
omega = raiz8,19 times 10^-8 , N9,11 times 10^-31 , kg times 0,53 times 10^-10 , m
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicamos a massa pelo raio: 9,11 times 10^-31 times 0,53 times 10^-10 approx 4,828 times 10^-41 , kg cdot m.
  2. Dividimos a força por esse resultado: 8,19 times 10^-84,828 times 10^-41 approx 1,697 times 10^33 , s^-2.
  3. Tiramos a raiz quadrada: raiz1,697 times 10^33 approx 1,303 times 10^16 , s^-1.

Resposta

A razão Fe / Fg é aproximadamente 2,25 times 10^39. É totalmente razoável desprezar a força gravitacional nesse contexto. A velocidade de rotação do elétron em torno do próton é cerca de 1,303 times 10^16 , s^-1.

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