A força gravitacional é uma força conservativa, sendo o seu trabalho em um circuito fechado igual a zero. Prove que isso é verdade calculando o trabalho total dessa força como a soma dos trabalhos em cada parte do seguinte percurso:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a força gravitacional ser uma força conservativa, ou seja, o trabalho que ela faz ao mover um objeto em um circuito fechado é zero. Para provar isso, vamos calcular o trabalho total da força gravitacional ao percorrer o trajeto dado: de para , depois para , para e de volta para . Vamos precisar entender como calcular o trabalho de uma força em cada trecho desse percurso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( ) de uma força é dado por:
onde é a força e é o deslocamento. Se a força e o deslocamento forem na mesma direção, o trabalho é simplesmente o produto das magnitudes:
No caso da força gravitacional, ela atua na direção vertical para baixo com magnitude , onde é a massa e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho em cada trecho do percurso:
  1. De para :
    • Movimento vertical para cima.
    • Deslocamento .
    • A força gravitacional está para baixo, então o ângulo entre a força e o deslocamento é .
    • O trabalho é:
  2. De para :
    • Movimento horizontal.
    • Deslocamento .
    • A força gravitacional está vertical, perpendicular ao deslocamento horizontal, então o ângulo é .
    • O trabalho é:
  3. De para :
    • Movimento vertical para baixo.
    • Deslocamento (porque desce).
    • A força gravitacional está na mesma direção do deslocamento, então o ângulo é .
    • O trabalho é:
  4. De para :
    • Movimento horizontal.
    • Deslocamento .
    • A força gravitacional está vertical, perpendicular ao deslocamento horizontal, então o ângulo é .
    • O trabalho é:

Passo 4

Agora, vamos somar todos os trabalhos calculados:
Substituindo os valores:
Hmm, parece que houve um erro aqui. Na verdade, vamos reavaliar os sinais. Ao descer, o deslocamento é na mesma direção da força, então o trabalho deveria ser positivo.
Recalculando:
  1. De para :
  2. De para :
  3. De para :
  4. De para :
Somando:

Resposta

O trabalho total da força gravitacional ao percorrer o circuito fechado é zero:
Isso demonstra que a força gravitacional é realmente uma força conservativa.

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