A força gravitacional é uma força conservativa, sendo o seu trabalho em um circuito fechado igual a zero. Prove que isso é verdade calculando o trabalho total dessa força como a soma dos trabalhos em cada parte do seguinte percurso: (0,0) (0, y) (x, y) (x, 0) (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a força gravitacional ser uma força conservativa, ou seja, o trabalho que ela faz ao mover um objeto em um circuito fechado é zero. Para provar isso, vamos calcular o trabalho total da força gravitacional ao percorrer o trajeto dado: de (0,0) para (0, y), depois para (x, y), para (x, 0) e de volta para (0,0). Vamos precisar entender como calcular o trabalho de uma força em cada trecho desse percurso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( W) de uma força é dado por:
W = F cdot d
onde F é a força e d é o deslocamento. Se a força e o deslocamento forem na mesma direção, o trabalho é simplesmente o produto das magnitudes:
W = F cdot d
No caso da força gravitacional, ela atua na direção vertical para baixo com magnitude F = m cdot g, onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho em cada trecho do percurso:
  1. De (0,0) para (0, y):
    • Movimento vertical para cima.
    • Deslocamento d = y.
    • A força gravitacional está para baixo, então o ângulo entre a força e o deslocamento é 180^circ.
    • O trabalho é: W1 = F cdot d cdot cos(180^circ) = m cdot g cdot y cdot (-1) = -mgy
  2. De (0, y) para (x, y):
    • Movimento horizontal.
    • Deslocamento d = x.
    • A força gravitacional está vertical, perpendicular ao deslocamento horizontal, então o ângulo é 90^circ.
    • O trabalho é: W2 = m cdot g cdot x cdot cos(90^circ) = 0
  3. De (x, y) para (x, 0):
    • Movimento vertical para baixo.
    • Deslocamento d = -y (porque desce).
    • A força gravitacional está na mesma direção do deslocamento, então o ângulo é 0^circ.
    • O trabalho é: W3 = m cdot g cdot (-y) cdot cos(0^circ) = -mgy cdot 1 = -mgy
  4. De (x, 0) para (0,0):
    • Movimento horizontal.
    • Deslocamento d = -x.
    • A força gravitacional está vertical, perpendicular ao deslocamento horizontal, então o ângulo é 90^circ.
    • O trabalho é: W4 = m cdot g cdot (-x) cdot cos(90^circ) = 0

Passo 4

Agora, vamos somar todos os trabalhos calculados:
Wtotal = W1 + W2 + W3 + W4
Substituindo os valores:
Wtotal = (-mgy) + 0 + (-mgy) + 0 = -2mgy
Hmm, parece que houve um erro aqui. Na verdade, vamos reavaliar os sinais. Ao descer, o deslocamento é na mesma direção da força, então o trabalho deveria ser positivo.
Recalculando:
  1. De (0,0) para (0, y):
    W1 = -mgy
  2. De (0, y) para (x, y):
    W2 = 0
  3. De (x, y) para (x, 0):
    W3 = +mgy
  4. De (x, 0) para (0,0):
    W4 = 0
Somando:
Wtotal = -mgy + 0 + mgy + 0 = 0

Resposta

O trabalho total da força gravitacional ao percorrer o circuito fechado é zero:
Wtotal = 0
Isso demonstra que a força gravitacional é realmente uma força conservativa.

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