Se X sim N(mu ; sigma^2), ache : P(X <= mu+2 sigma)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está falando. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância . A pergunta é para achar a probabilidade de ser menor ou igual a . Ou seja, queremos saber .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição normal é simétrica em torno da média . A variância nos dá uma medida de dispersão, e o desvio padrão é .

Passo 3

Para resolver isso, vamos padronizar a variável Z = X - musigma . Isso significa transformar em uma variável que segue uma distribuição normal padrão (com média 0 e desvio padrão 1). A fórmula para padronizar é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa transformação na nossa probabilidade:
P(X <= mu + 2sigma) = P(X - musigma <= mu + 2sigma - musigma) = P(Z <= 2)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar . Isso corresponde à área sob a curva da distribuição normal padrão à esquerda de .

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, sabemos que:
P(Z <= 2) approx 0,9772

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 97,72%.

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