Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1 mm de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pilha de folhas de papel, onde cada folha tem 0,1 mm de espessura. A forma de montar essa pilha é assim: na primeira vez, colocamos uma folha. Na próxima vez, colocamos tantas folhas quanto já tiverem sido colocadas anteriormente. Isso se repete 33 vezes. O objetivo é descobrir qual será a ordem de grandeza da altura dessa pilha após essas 33 operações.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica e exponenciação, que estão na matemática básica. Precisaremos calcular a quantidade total de folhas após as 33 operações e multiplicar pela espessura de cada folha para encontrar a altura da pilha.
Passo 2
Vamos começar entendendo como a quantidade de folhas cresce a cada operação. Na primeira operação, colocamos 1 folha. Na segunda operação, colocamos novamente 1 folha (porque já havia 1 folha). Na terceira, colocamos 2 folhas (porque agora temos 2 folhas), e assim por diante.
Isso significa que o número de folhas duplicará a cada operação. Esse tipo de crescimento é chamado de progressão geométrica onde cada termo é o dobro do anterior.
Matematicamente, isso pode ser representado por:
onde $ N_n $ é o número de folhas na $ n $-ésima operação.
Passo 3
Agora, vamos calcular o número total de folhas após 33 operações. Para isso, somamos todas as folhas colocadas em cada operação.
A soma de uma progressão geométrica onde a razão é 2 é dada por:
onde $ S $ é a soma total e $ n $ é o número de operações.
Substituindo $ n = 33 $:
Passo 4
Vamos calcular $ 2^{33} $. Sabemos que:
Portanto,
E,
Então,
Portanto, o número total de folhas é aproximadamente $ 8 \times 10^9 $ folhas.
Passo 5
Agora, vamos calcular a altura total da pilha. Cada folha tem 0,1 mm de espessura, que em metros é:
Multiplicando o número total de folhas pela espessura de cada uma:
Resposta
Após 33 operações, a altura da pilha será da ordem de grandeza de $ 10^6 $ metros.