Formou-se gelo em um pequeno lago, e o regime estacionário foi atingido com o ar acima do gelo a
e o fundo do lago a
. Se a profundidade total do gelo+água é
, qual é a espessura do gelo? Considere que as condutividades térmicas do gelo e da água são, respectivamente,
e
.
Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um lago onde o gelo se formou e atingiu um equilíbrio térmico. Ou seja, a temperatura no ar acima do gelo está a
e no fundo do lago a
. A profundidade total do gelo mais a água é de
. Nosso objetivo é descobrir qual é a espessura apenas do gelo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e regime estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre condução de calor. Em regime estacionário, o calor flui de uma região mais quente para uma mais fria a uma taxa constante. No nosso caso, o calor está se movendo do fundo do lago (mais quente) através da água e do gelo (mais frio). As condutividades térmicas nos dizem quão bem cada material conduz o calor. Aqui, a água e o gelo têm condutividades térmicas diferentes, o que afeta a quantidade de calor que passa por cada um.
Passo 3
Vamos chamar a espessura do gelo de
metros e a espessura da água de
metros. Sabemos que a profundidade total é
, então temos:
Agora, a taxa de transferência de calor (
) por condução é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a condutividade térmica, -
é a área (que podemos considerar constante e, portanto, podemos ignorar para simplificação), -
é a diferença de temperatura, -
é a espessura do material.
Como o regime é estacionário, a taxa de transferência de calor através da água e do gelo deve ser a mesma. Assim, podemos igualar as duas expressões.
Passo 4
Igualando as duas taxas de transferência de calor:
Simplificando, já que
é o mesmo para ambos:
Sabendo que
, podemos resolver esse sistema de equações.
Passo 5
Vamos expressar
em termos de
:
Substituindo na equação de condutividades:
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A espessura do gelo é aproximadamente
.
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