Formou-se gelo em um pequeno lago, e o regime estacionário foi atingido com o ar acima do gelo a -6^circ C e o fundo do lago a 4^circ C. Se a profundidade total do gelo+água é 1,5 m, qual é a espessura do gelo? Considere que as condutividades térmicas do gelo e da água são, respectivamente, 0,4 cal /(m cdot ^circ C cdot s) e 0,12 cal /(m cdot ^circ C cdot s).

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um lago onde o gelo se formou e atingiu um equilíbrio térmico. Ou seja, a temperatura no ar acima do gelo está a e no fundo do lago a . A profundidade total do gelo mais a água é de . Nosso objetivo é descobrir qual é a espessura apenas do gelo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e regime estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre condução de calor. Em regime estacionário, o calor flui de uma região mais quente para uma mais fria a uma taxa constante. No nosso caso, o calor está se movendo do fundo do lago (mais quente) através da água e do gelo (mais frio). As condutividades térmicas nos dizem quão bem cada material conduz o calor. Aqui, a água e o gelo têm condutividades térmicas diferentes, o que afeta a quantidade de calor que passa por cada um.

Passo 3

Vamos chamar a espessura do gelo de x + y = 1,5 metros e a espessura da água de Q = k cdot A cdot De metros. Sabemos que a profundidade total é , então temos:
Agora, a taxa de transferência de calor ( ) por condução é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a condutividade térmica,
  • é a área (que podemos considerar constante e, portanto, podemos ignorar para simplificação),
  • é a diferença de temperatura,
  • é a espessura do material.
Como o regime é estacionário, a taxa de transferência de calor através da água e do gelo deve ser a mesma. Assim, podemos igualar as duas expressões.

Passo 4

Igualando as duas taxas de transferência de calor:
kágua cdot (Tfundo - Tsuperfície)y = k>=lo cdot (Tfundo - Tsuperfície)x áíí
Simplificando, já que káguay = k>=lox í é o mesmo para ambos:
á
Sabendo que , podemos resolver esse sistema de equações.

Passo 5

Vamos expressar y = 1,5 - x em termos de 0,121,5 - x = 0,4x :
0,12x = 0,4(1,5 - x)
Substituindo na equação de condutividades:
0,12x = 0,6 - 0,4x
Agora, vamos resolver para 0,12x + 0,4x = 0,6 :
0,52x = 0,6
x = 0,60,52 approx 1,1538 m

Resposta

A espessura do gelo é aproximadamente .

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