Sejam duas funções Psi e Phi definidas para 0 <= x. Explique por que Psi(x)=x não pode ser uma função de onda, mas Phi(x)=e^-x^2 pode ser uma função de onda válida.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções, Psi(x) = x e Phi(x) = e^-x^2, definidas para todo x maior ou igual a zero. A pergunta quer que a gente explique por que Psi(x) = x não pode ser uma função de onda, mas Phi(x) = e^-x^2 pode ser válida. Para isso, vamos precisar falar sobre as propriedades que uma função de onda deve ter na mecânica quântica, principalmente sobre a normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de onda, na mecânica quântica, deve ser normalizável. Isso significa que a integral do quadrado do módulo da função de onda sobre todo o espaço deve ser finita. Em termos matemáticos, para uma função psi(x) definida no intervalo [0, infty), a condição de normalização é:
integral0^infty |psi(x)|^2 , dx < infty
Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar é igual a 1.

Passo 3

Vamos analisar a função Psi(x) = x. Para verificar se ela é normalizável, calculamos a integral do seu quadrado:
integral0^infty |Psi(x)|^2 , dx = integral0^infty x^2 , dx
Essa integral é igual a:
lima to infty x^33 g|0^a = lima to infty a^33 = infty
Como o resultado é infinito, a função Psi(x) = x não é normalizável. Portanto, ela não pode ser uma função de onda válida, já que não satisfaz a condição de normalização necessária.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função Phi(x) = e^-x^2. Vamos calcular a integral do seu quadrado:
integral0^infty |Phi(x)|^2 , dx = integral0^infty e^-2x^2 , dx
Essa integral é conhecida e resulta em:
raizpi2 raiz2
Esse valor é finito, o que significa que a função Phi(x) = e^-x^2 é normalizável. Portanto, ela pode ser uma função de onda válida, desde que seja devidamente normalizada para que a integral total seja igual a 1.

Resposta

A função Psi(x) = x não pode ser uma função de onda porque sua integral do quadrado diverge, tornando-a não normalizável. Já a função Phi(x) = e^-x^2 é normalizável, pois a integral do seu quadrado é finita, permitindo que seja uma função de onda válida.

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