(a) Formule as hipótese nula e alternativa.
(b) Numa amostra aleatória de 280 estudantes, verificou-se que 135 possuíam computador. Poderá rejeitar H0 ao nível de significância de alpha=0,05 ? Qual o tipo de erro a que se sujeita? Explique as consequências práticas de cometer esse erro.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui envolve testes de hipóteses na área de estatística, especificamente trabalhando com proporções. A gente precisa formular as hipóteses nula e alternativa e depois, com uma amostra de 280 estudantes, verificar se podemos rejeitar a hipótese nula com um nível de significância de 5%. Também vamos discutir que tipo de erro pode ocorrer e as consequências disso.

Passo 2

Parte (a): Formulando as Hipóteses Nula e Alternativa
Primeiro, vamos entender o que são as hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula ( H0) geralmente representa uma afirmação de “nenhuma diferença” ou “situação padrão” que queremos testar. Já a hipótese alternativa ( H1) é aquilo que queremos provar, indicando que há uma diferença ou efeito.
Exemplo:
  • Se estivermos testando se a proporção de estudantes com computador é igual a um valor específico, digamos p0, então:
    • Hipótese Nula ( H0): A proporção de estudantes com computador é igual a p0. Matematicamente, H0: p = p0.
    • Hipótese Alternativa ( H1): A proporção de estudantes com computador é diferente de p0. Matematicamente, H1: p neq p0.

Passo 3

Parte (b): Testando a Hipótese com a Amostra
Agora, temos uma amostra de 280 estudantes, onde 135 possuem computador. Queremos saber se podemos rejeitar a hipótese nula H0 com alpha = 0,05.
Passo a Passo:
  1. Calcular a Proporção Observada ( p):
    p = número de estudantes com computadortamanho da amostra = 135280 approx 0,4821 ú
  2. Determinar a Proporção sob H0 ( p0):
    • Aqui, precisamos saber qual é o valor de p0. Se não for fornecido, geralmente assume-se que está testando contra uma proporção específica, por exemplo, 50% ( p0 = 0,5).
  3. Calcular o Erro Padrão (SE):
    SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,5 times 0,5280 approx 0,0298
  4. Calcular o Valor Z:
    Z = p - p0SE = 0,4821 - 0,50,0298 approx -0,597
  5. Determinar o Valor Crítico para alpha = 0,05:
    • Para um teste bicaudal, os valores críticos são aproximadamente -1,96 e 1,96.
  6. Comparar o Valor Z com os Valores Críticos:
    • Como -1,96 < -0,597 < 1,96, não rejeitamos a hipótese nula.
  7. Conclusão:
    • Não há evidências suficientes para rejeitar H0 ao nível de significância de 5%.
Tipo de Erro e Consequências Práticas:
O tipo de erro que podemos cometer aqui é o Erro do Tipo II. Isso ocorre quando não rejeitamos a hipótese nula mesmo ela sendo falsa. Na prática, isso significaria que poderíamos estar concluindo que a proporção de estudantes com computador é igual a p0 quando, na verdade, é diferente. As consequências práticas seriam subestimar ou superestimar a verdadeira adoção de computadores entre os estudantes, o que pode afetar decisões relacionadas a recursos educacionais, investimentos em tecnologia, entre outros.

Resposta

(a)
  • Hipótese Nula ( H0): A proporção de estudantes com computador é igual a p0, ou seja, H0: p = p0.
  • Hipótese Alternativa ( H1): A proporção de estudantes com computador é diferente de p0, ou seja, H1: p neq p0.
(b) Não, não podemos rejeitar H0 ao nível de significância de alpha=0,05. O tipo de erro possível é o Erro do Tipo II, que significa não detectar uma diferença real na proporção de estudantes com computador. Praticamente, isso poderia levar a decisões baseadas na suposição incorreta de que a proporção é p0, afetando políticas ou investimentos em tecnologia educacional.

Exercícios relacionados