(a) Formule as hipótese nula e alternativa.
(b) Numa amostra aleatória de 280 estudantes, verificou-se que 135 possuíam computador. Poderá rejeitar
ao nível de significância de
? Qual o tipo de erro a que se sujeita? Explique as consequências práticas de cometer esse erro.
(b) Numa amostra aleatória de 280 estudantes, verificou-se que 135 possuíam computador. Poderá rejeitar
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui envolve testes de hipóteses na área de estatística, especificamente trabalhando com proporções. A gente precisa formular as hipóteses nula e alternativa e depois, com uma amostra de 280 estudantes, verificar se podemos rejeitar a hipótese nula com um nível de significância de 5%. Também vamos discutir que tipo de erro pode ocorrer e as consequências disso.
Passo 2
Parte (a): Formulando as Hipóteses Nula e Alternativa
Primeiro, vamos entender o que são as hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula (
) geralmente representa uma afirmação de “nenhuma diferença” ou “situação padrão” que queremos testar. Já a hipótese alternativa (
) é aquilo que queremos provar, indicando que há uma diferença ou efeito.
Exemplo:
- Se estivermos testando se a proporção de estudantes com computador é igual a um valor específico, digamos
, então: - Hipótese Nula (
): A proporção de estudantes com computador é igual a . Matematicamente, . - Hipótese Alternativa (
): A proporção de estudantes com computador é diferente de . Matematicamente, .
- Hipótese Nula (
Passo 3
Parte (b): Testando a Hipótese com a Amostra
Agora, temos uma amostra de 280 estudantes, onde 135 possuem computador. Queremos saber se podemos rejeitar a hipótese nula
com
.
Passo a Passo:
-
Calcular a Proporção Observada (
): -
Determinar a Proporção sob
( ): - Aqui, precisamos saber qual é o valor de
. Se não for fornecido, geralmente assume-se que está testando contra uma proporção específica, por exemplo, 50% ( ).
- Aqui, precisamos saber qual é o valor de
-
Calcular o Erro Padrão (SE):
-
Calcular o Valor Z:
-
Determinar o Valor Crítico para
: - Para um teste bicaudal, os valores críticos são aproximadamente
e .
- Para um teste bicaudal, os valores críticos são aproximadamente
-
Comparar o Valor Z com os Valores Críticos:
- Como
, não rejeitamos a hipótese nula.
- Como
-
Conclusão:
- Não há evidências suficientes para rejeitar
ao nível de significância de 5%.
- Não há evidências suficientes para rejeitar
Tipo de Erro e Consequências Práticas:
O tipo de erro que podemos cometer aqui é o Erro do Tipo II. Isso ocorre quando não rejeitamos a hipótese nula mesmo ela sendo falsa. Na prática, isso significaria que poderíamos estar concluindo que a proporção de estudantes com computador é igual a
quando, na verdade, é diferente. As consequências práticas seriam subestimar ou superestimar a verdadeira adoção de computadores entre os estudantes, o que pode afetar decisões relacionadas a recursos educacionais, investimentos em tecnologia, entre outros.
Resposta
(a)
- Hipótese Nula (
): A proporção de estudantes com computador é igual a , ou seja, . - Hipótese Alternativa (
): A proporção de estudantes com computador é diferente de , ou seja, .
(b) Não, não podemos rejeitar
ao nível de significância de
. O tipo de erro possível é o Erro do Tipo II, que significa não detectar uma diferença real na proporção de estudantes com computador. Praticamente, isso poderia levar a decisões baseadas na suposição incorreta de que a proporção é
, afetando políticas ou investimentos em tecnologia educacional.