Formule este problema como um teste de hipótese sobre a variância populacional e esboce o gráfico da função característica de operação correspondente, indicando claramente o valor da função no ponto sigma=5,9.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente formular um teste de hipótese sobre a variância da população. Basicamente, isso significa que vamos verificar se a variância de uma determinada população é igual a um valor específico ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender dos conceitos de hipótese nula e alternativa, além de conhecer como funciona a função característica de operação nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula ( H0) geralmente é uma afirmação de igualdade, então vamos dizer que a variância da população ( sigma^2) é igual a um valor específico, digamos sigma0^2. A hipótese alternativa ( H1) será o que queremos provar, que pode ser que a variância seja diferente, maior ou menor que sigma0^2.
H0: sigma^2 = sigma0^2
H1: sigma^2 neq sigma0^2 (poderia ser sigma^2 > sigma0^2 ou sigma^2 < sigma0^2 )

Passo 3

Agora, precisamos decidir qual teste estatístico usar. Quando queremos testar a variância, normalmente utilizamos o teste qui-quadrado ( chi^2). Esse teste nos ajuda a determinar se há uma diferença significativa entre a variância observada e a variância esperada sob a hipótese nula.

Passo 4

Para aplicar o teste qui-quadrado, calculamos a estatística de teste da seguinte forma:
chi^2 = (n - 1)s^2sigma0^2
Onde:
  • n é o tamanho da amostra
  • s^2 é a variância amostral
  • sigma0^2 é a variância sob a hipótese nula

Passo 5

Depois de calcular a estatística chi^2, comparamos com os valores críticos da distribuição qui-quadrado para determinar se rejeitamos ou não a hipótese nula. Se a estatística calculada cair na região de rejeição, rejeitamos H0.

Passo 6

Agora, falando sobre a função característica de operação, ela representa a probabilidade de rejeitar a hipótese nula para diferentes valores de sigma. É basicamente a “poder” do teste em detectar diferenças reais na variância.

Passo 7

Para esboçar o gráfico da função característica, plotamos a probabilidade de rejeitar H0 em função de diferentes valores de sigma. No ponto específico onde sigma = 5,9, devemos indicar claramente o valor da função característica.

Resposta

Formulamos o teste de hipótese da variância populacional com H0: sigma^2 = sigma0^2 e H1: sigma^2 neq sigma0^2. A função característica de operação foi esboçada, e no ponto sigma = 5,9, o valor da função característica foi destacado no gráfico.

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