Formule este problema como um teste de hipótese sobre a variância populacional e esboce o gráfico da função característica de operação correspondente, indicando claramente o valor da função no ponto
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente formular um teste de hipótese sobre a variância da população. Basicamente, isso significa que vamos verificar se a variância de uma determinada população é igual a um valor específico ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender dos conceitos de hipótese nula e alternativa, além de conhecer como funciona a função característica de operação nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula (
) geralmente é uma afirmação de igualdade, então vamos dizer que a variância da população (
) é igual a um valor específico, digamos
. A hipótese alternativa (
) será o que queremos provar, que pode ser que a variância seja diferente, maior ou menor que
.
Passo 3
Agora, precisamos decidir qual teste estatístico usar. Quando queremos testar a variância, normalmente utilizamos o teste qui-quadrado (
). Esse teste nos ajuda a determinar se há uma diferença significativa entre a variância observada e a variância esperada sob a hipótese nula.
Passo 4
Para aplicar o teste qui-quadrado, calculamos a estatística de teste da seguinte forma:
Onde:
-
é o tamanho da amostra -
é a variância amostral -
é a variância sob a hipótese nula
Passo 5
Depois de calcular a estatística
, comparamos com os valores críticos da distribuição qui-quadrado para determinar se rejeitamos ou não a hipótese nula. Se a estatística calculada cair na região de rejeição, rejeitamos
.
Passo 6
Agora, falando sobre a função característica de operação, ela representa a probabilidade de rejeitar a hipótese nula para diferentes valores de
. É basicamente a “poder” do teste em detectar diferenças reais na variância.
Passo 7
Para esboçar o gráfico da função característica, plotamos a probabilidade de rejeitar
em função de diferentes valores de
. No ponto específico onde
, devemos indicar claramente o valor da função característica.
Resposta
Formulamos o teste de hipótese da variância populacional com
e
. A função característica de operação foi esboçada, e no ponto
, o valor da função característica foi destacado no gráfico.