Seja o experimento de arremessar três vezes (e de maneira independente) uma moeda cuja probabilidade de cara é três vezes maior que a probabilidade de coroa, no qual tem-se interesse na variável aleatória
: número de caras obtidas nos três arremessos.
b) Obtenha o valor esperado de
.
b) Obtenha o valor esperado de
Passo 1
Então, a gente tem um experimento onde lançamos uma moeda três vezes. A probabilidade de sair cara é três vezes maior que a de sair coroa. A variável aleatória $ X $ representa o número de caras que aparecem nesses três lançamentos. Hoje, vamos calcular o valor esperado dessa variável, que basicamente nos diz qual é a média de caras que esperamos obter nesses lançamentos.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir as probabilidades individuais de sair cara ($ P(cara)
P(coroa) $). Sabemos que $ P(cara) = 3 \times P(coroa) $.
Vamos chamar $ P(coroa) $ de $ p $. Então:
Como a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1:
Então:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do valor esperado para uma variável aleatória discreta. A fórmula é:
No nosso caso, $ X $ pode ser 0, 1, 2 ou 3 caras. Mas como estamos lidando com uma distribuição binomial (três tentativas e probabilidade fixa de sucesso), podemos simplificar usando:
onde:
- $ n = 3 $ (número de lançamentos)
- $ p = \frac{3}{4} $ (probabilidade de sair cara em cada lançamento)
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é $ \frac{9}{4} $ ou 2,25.