Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada dada por
FX(x)=cl 0, & se x<2 0,30 & , se 2 <= x<4 0,45 & , se 4 <= x<6 0,65 & , se 6 <= x<8 1 & , se x >= 8
b) Qual a função de probabilidade de X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória X com uma função de distribuição acumulada (FDA) dada. O exercício pede para encontrar a função de probabilidade de X, também conhecida como função massa de probabilidade (FMP). Para isso, vamos precisar entender como a FDA se relaciona com a FMP e identificar onde ocorrem as mudanças na FDA para determinar as probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, FX(x), nos dá a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a um valor x. Ou seja, FX(x) = P(X <= x).

Passo 3

Agora, a função de probabilidade (FMP), P(X = x), nos dá a probabilidade de que X seja exatamente igual a um valor específico x. Para encontrar a FMP a partir da FDA, precisamos identificar onde a FDA “sobe” ou tem saltos. Esses saltos correspondem às probabilidades dos valores específicos de X.

Passo 4

Vamos analisar a FDA dada:
FX(x)=cl 0, & se x < 2 0,30, & se 2 <= x < 4 0,45, & se 4 <= x < 6 0,65, & se 6 <= x < 8 1, & se x >= 8

Passo 5

Vamos ver onde a FDA muda de valor:
  • De x < 2 para 2 <= x < 4: a FDA vai de 0 para 0,30.
  • De 4 <= x < 6: vai de 0,30 para 0,45.
  • De 6 <= x < 8: vai de 0,45 para 0,65.
  • De x >= 8: vai de 0,65 para 1.

Passo 6

Cada uma dessas mudanças representa a probabilidade de X assumir o valor correspondente. Para encontrar P(X = x), subtraímos o valor anterior da FDA do valor atual:
  • P(X = 2) = 0,30 - 0 = 0,30
  • P(X = 4) = 0,45 - 0,30 = 0,15
  • P(X = 6) = 0,65 - 0,45 = 0,20
  • P(X = 8) = 1 - 0,65 = 0,35

Resposta

A função de probabilidade de X é:
P(X = x) = 0,30, & se x = 2 0,15, & se x = 4 0,20, & se x = 6 0,35, & se x = 8 0, & caso contrário á

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