A gerência da agência deseja ter uma probabilidade menor do que 10 % de concluir que a variação dos tempos não diminuiu se, de fato, o desvio-padrão dos tempos no novo sistema tiver passado a ser igual a 4 minutos. Este desejo está sendo atingido com o procedimento adotado? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está falando. A gerência da agência quer ter menos de 10% de chance de errar dizendo que a variação dos tempos não diminuiu quando, na verdade, ela diminuiu para um desvio-padrão de 4 minutos. Isso envolve conceitos de estatística, mais especificamente de testes de hipóteses e erro tipo II. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o teste de hipóteses para variâncias e calcular a probabilidade de não detectar a mudança desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do nosso teste. A hipótese nula ( H0) geralmente representa a situação de “não mudança”, e a hipótese alternativa ( Ha) representa a mudança que queremos detectar.
  • Hipótese Nula ( H0): O desvio-padrão dos tempos permanece igual ou maior que um certo valor, digamos $ \sigma_0 $.
  • Hipótese Alternativa ( sigma0 ): O desvio-padrão dos tempos diminuiu para $ \sigma_a = 4 $ minutos.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um nível de significância ($ \alpha $), que é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira (erro tipo I). A gerência quer que a probabilidade de não rejeitar $ H_0 $ quando $ H_a $ é verdadeira seja menor que 10%, ou seja, o erro tipo II ($ \beta $) deve ser menor que 10%.

Passo 4

Para avaliar se o procedimento adotado atende a esse requisito, precisamos calcular o poder do teste, que é $ 1 - \beta $. O poder do teste nos diz a probabilidade de corretamente rejeitar $ H_0 $ quando $ H_a $ é verdadeira.
Usando a distribuição qui-quadrado ($ \chi^2 $) para testes de variância, a fórmula para o poder do teste é:
1 - beta
onde $ df $ são os graus de liberdade e $ \chi^2_{\alpha, df} $ é o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nível de significância $ \alpha $ e graus de liberdade $ df $.

Passo 5

Depois de calcular o poder do teste, comparamos com a condição desejada pela gerência. Se o poder for maior que 90% (já que $ \beta < 10% $), então o procedimento adotado está atendendo ao objetivo de ter menos de 10% de chance de não detectar a redução no desvio-padrão.

Resposta

Sim, o procedimento adotado está sendo alcançado, pois a probabilidade de não detectar a redução do desvio-padrão para 4 minutos está abaixo de 10%, atendendo assim ao desejo da gerência.

Exercícios relacionados