Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função f no ponto P indicado:
f(x) = 3/(x+2) ; P(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto realmente pertence ao gráfico da função . Para isso, substituímos na função:
Como , o ponto está, de fato, na curva da função.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A função dada é:
Podemos reescrever essa função como para facilitar a derivação usando a regra do poder.

Passo 4

Aplicando a regra do poder para derivar , temos:
Simplificando:
Ou, de forma equivalente:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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