Forneça as funções de transferência entre a vazão de saída e a pressão fornecida pela bomba
, e entre a vazão de saída e a velocidade angular da bomba centrífuga
. Deixe a função de transferência no formato padrão (com o termo constante que acompanha
igual a 1) e justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar as funções de transferência entre a vazão de saída (
) e a pressão fornecida pela bomba (
),
, e entre a vazão de saída e a velocidade angular da bomba centrífuga (
),
. Isso está relacionado a sistemas de controle e modelagem de sistemas dinâmicos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão e a velocidade angular influenciam a vazão de saída na bomba centrífuga.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a relação básica entre a velocidade angular (
) e a vazão de saída (
). Em uma bomba centrífuga ideal, a vazão é proporcional à velocidade angular. Isso pode ser representado pela equação:
Aqui,
é uma constante que depende das características da bomba.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a pressão (
) à vazão de saída (
). Na prática, a pressão desenvolvida pela bomba está relacionada ao quadrado da vazão:
Novamente,
é uma constante específica da bomba.
Passo 4
Nos sistemas de controle, queremos expressar essas relações no domínio da frequência usando transformadas de Laplace. A função de transferência é a relação entre a saída e a entrada no domínio de
. Para
, já temos uma relação direta da Passo 2.
Aplicando a transformada de Laplace na equação
, obtemos:
Passo 5
Para encontrar
, vamos usar a relação da Passo 3. Primeiro, rearranjamos a equação para expressar
em termos de
:
Aplicando a transformada de Laplace e linearizando para pequenas variações, temos:
Assumindo que estamos trabalhando em torno de um ponto de operação onde
é constante, essa relação pode ser simplificada para uma constante, mantendo o formato de função de transferência padrão.
Passo 6
Agora, ajustamos as funções de transferência para que o termo constante que acompanha
seja igual a 1. Para
:
Dividimos ambos os lados por
para normalizar:
Portanto, a função de transferência fica:
De forma similar, para
, já está no formato desejado após a simplificação.
Resposta
As funções de transferência no formato padrão são:
e