A gestão da linha de produção afirma que a água precisa ser fornecida à uma vazão de no mínimo
e que o fornecimento de água à uma vazão abaixo desse valor poderia ser tolerada por no máximo 30 minutos. Responda com base no seu modelo simplificado quanto tempo o sistema hidráulico operou abaixo da vazão especificada e se foi possível que o sistema trabalhasse dentro da tolerância de 30 minutos. (Observação: nesta letra f recomendo fortemente a solução utilizando os softwares MATLAB ou Octave para efetuar a simulação do sistema dinâmico.)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gestão da linha de produção informou que a água precisa ser fornecida a uma vazão mínima de
. Se a vazão ficar abaixo desse valor, isso só pode ocorrer por no máximo 30 minutos sem causar problemas. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo o sistema hidráulico operou abaixo dessa vazão mínima e verificar se esse tempo está dentro da tolerância de 30 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e, se necessário, simular o sistema usando o MATLAB ou Octave.
Passo 2
Primeiro, precisamos modelar o sistema hidráulico. Suponha que a vazão de água
no tempo
possa ser descrita por uma equação diferencial que represente como a vazão varia ao longo do tempo. Por exemplo, uma equação simples poderia ser:
onde:
-
é uma constante que representa a taxa de decaimento da vazão. -
é a vazão mínima exigida.
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
, que nos mostrará como a vazão muda com o tempo. Separando as variáveis e integrando, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos resolver para
:
Passo 4
Para determinar a constante
, precisamos de uma condição inicial. Suponha que no tempo
, a vazão é
. Então:
Assim, a expressão para
fica:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar o tempo
quando
cai abaixo de
. Mas como nossa equação mostra que
assintoticamente se aproxima de
, na prática, consideramos um valor
muito próximo de
para identificar quando ultrapassa o limite de tolerância.
Vamos definir um valor
, por exemplo,
, onde
é um pequeno valor.
Passo 6
Agora, resolvemos para
quando
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o valor de
. Isso geralmente é feito com base em dados experimentais ou especificações do sistema. Suponha que, após calibrar o sistema, encontramos
.
Passo 8
Vamos supor que a vazão inicial seja
e definimos
, então
.
Substituindo na equação de
:
Aqui, percebemos que
, o que indica que o sistema está abaixo do mínimo desde o início. Isso sugere que, com os parâmetros escolhidos, o sistema não está operando dentro da tolerância.
Passo 9
Para uma análise mais precisa, é recomendado usar o MATLAB ou Octave para simular
ao longo do tempo e identificar o período em que a vazão está abaixo de
. Isso pode ser feito criando um script que plote
e verifique se o tempo total abaixo de
ultrapassa 30 minutos.
Resposta
Com base no modelo simplificado e nos parâmetros assumidos, o sistema hidráulico operou abaixo da vazão mínima especificada desde o início, excedendo a tolerância de 30 minutos. Portanto, não foi possível que o sistema trabalhasse dentro da tolerância estabelecida.