A gestão da linha de produção afirma que a água precisa ser fornecida à uma vazão de no mínimo 0,15 m^3 / s e que o fornecimento de água à uma vazão abaixo desse valor poderia ser tolerada por no máximo 30 minutos. Responda com base no seu modelo simplificado quanto tempo o sistema hidráulico operou abaixo da vazão especificada e se foi possível que o sistema trabalhasse dentro da tolerância de 30 minutos. (Observação: nesta letra f recomendo fortemente a solução utilizando os softwares MATLAB ou Octave para efetuar a simulação do sistema dinâmico.)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gestão da linha de produção informou que a água precisa ser fornecida a uma vazão mínima de . Se a vazão ficar abaixo desse valor, isso só pode ocorrer por no máximo 30 minutos sem causar problemas. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo o sistema hidráulico operou abaixo dessa vazão mínima e verificar se esse tempo está dentro da tolerância de 30 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e, se necessário, simular o sistema usando o MATLAB ou Octave.

Passo 2

Primeiro, precisamos modelar o sistema hidráulico. Suponha que a vazão de água dQ(t)dt = -k(Q(t) - Qmin) no tempo possa ser descrita por uma equação diferencial que represente como a vazão varia ao longo do tempo. Por exemplo, uma equação simples poderia ser:
onde:
  • é uma constante que representa a taxa de decaimento da vazão.
  • é a vazão mínima exigida.

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar integral 1Q(t) - Qmin , dQ(t) = -k integral dt , que nos mostrará como a vazão muda com o tempo. Separando as variáveis e integrando, temos:
ln|Q(t) - Qmin| = -kt + C
Integrando ambos os lados:
Q(t) = Qmin + Ce^-kt
Onde é a constante de integração. Podemos resolver para :

Passo 4

Para determinar a constante Q(0) = Qmin + C = Q0 Rightarrow C = Q0 - Qmin , precisamos de uma condição inicial. Suponha que no tempo Q(t) = Qmin + (Q0 - Qmin)e^-kt , a vazão é . Então:
Assim, a expressão para fica:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o tempo quando cai abaixo de . Mas como nossa equação mostra que assintoticamente se aproxima de , na prática, consideramos um valor muito próximo de para identificar quando ultrapassa o limite de tolerância.
Vamos definir um valor , por exemplo, , onde é um pequeno valor.

Passo 6

Agora, resolvemos para Qtol = Qmin + (Q0 - Qmin)e^-kt quando Qtol - Qmin = (Q0 - Qmin)e^-kt :
Qtol - QminQ0 - Qmin = e^-kt
Subtraindo ln( Qtol - QminQ0 - Qmin ) = -kt de ambos os lados:
t = -1k ln( Qtol - QminQ0 - Qmin )
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, precisamos determinar o valor de . Isso geralmente é feito com base em dados experimentais ou especificações do sistema. Suponha que, após calibrar o sistema, encontramos .

Passo 8

Vamos supor que a vazão inicial seja t = -10,01 ln( 0,14 - 0,150,2 - 0,15 ) = -100 ln( -0,010,05 ) e definimos , então .
Substituindo na equação de :
Aqui, percebemos que , o que indica que o sistema está abaixo do mínimo desde o início. Isso sugere que, com os parâmetros escolhidos, o sistema não está operando dentro da tolerância.

Passo 9

Para uma análise mais precisa, é recomendado usar o MATLAB ou Octave para simular ao longo do tempo e identificar o período em que a vazão está abaixo de . Isso pode ser feito criando um script que plote e verifique se o tempo total abaixo de ultrapassa 30 minutos.

Resposta

Com base no modelo simplificado e nos parâmetros assumidos, o sistema hidráulico operou abaixo da vazão mínima especificada desde o início, excedendo a tolerância de 30 minutos. Portanto, não foi possível que o sistema trabalhasse dentro da tolerância estabelecida.

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