A frequência funcional
de uma corda esticada é uma função do comprimento da corda L, seu diâmetro D, da massa específica e da força de tração aplicada T. Sugira um conjunto de parâmetros relativos a essas variáveis. Para esse caso, escolha como variáveis repetidas:
e massa específica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma corda esticada cuja frequência funcional
depende do comprimento
, do diâmetro
, da massa específica (
) e da força de tração aplicada
. O negócio aqui é sugerir um conjunto de parâmetros que relacionem essas variáveis, usando análise dimensional. Vamos precisar entender como essas variáveis interagem e quais são suas dimensões para formar parâmetros sem dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as variáveis e suas dimensões:
- Frequência,
: [ ] (tempo inverso) - Comprimento,
e diâmetro, : [ ] (comprimento) - Massa específica,
: [ ] (massa por unidade de comprimento) - Força de tração,
: [ ] (força)
Aqui, usamos as dimensões básicas: massa
, comprimento
e tempo
.
Passo 3
Agora, vamos contar quantas dimensões básicas estamos usando. São 3:
,
e
. E temos 4 variáveis na função:
. Segundo o Teorema de Buckingham Pi, o número de grupos adimensionais (
) que vamos formar é igual ao número de variáveis menos o número de dimensões básicas, ou seja,
.
Passo 4
Escolhemos três variáveis repetidas que são independentes e contêm todas as dimensões básicas. Pelo enunciado, vamos usar
e
como variáveis repetidas.
Passo 5
Agora, vamos formar o grupo adimensional
. Esse grupo relaciona as variáveis não repetidas com as repetidas. A única variável que resta é a força de tração
.
Queremos que:
Precisamos encontrar os expoentes
de forma que
seja adimensional.
Passo 6
Vamos igualar as dimensões:
Simplificando:
Igualando os expoentes a zero:
Resolvendo:
Passo 7
Substituindo os valores de
na expressão de
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
Os parâmetros adimensionais sugeridos são: