A frequência funcional n de uma corda esticada é uma função do comprimento da corda L, seu diâmetro D, da massa específica e da força de tração aplicada T. Sugira um conjunto de parâmetros relativos a essas variáveis. Para esse caso, escolha como variáveis repetidas: n, d e massa específica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma corda esticada cuja frequência funcional depende do comprimento , do diâmetro , da massa específica ( ) e da força de tração aplicada . O negócio aqui é sugerir um conjunto de parâmetros que relacionem essas variáveis, usando análise dimensional. Vamos precisar entender como essas variáveis interagem e quais são suas dimensões para formar parâmetros sem dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as variáveis e suas dimensões:
  • Frequência, : [ ] (tempo inverso)
  • Comprimento, e diâmetro, : [ ] (comprimento)
  • Massa específica, : [ ] (massa por unidade de comprimento)
  • Força de tração, : [ ] (força)
Aqui, usamos as dimensões básicas: massa , comprimento e tempo .

Passo 3

Agora, vamos contar quantas dimensões básicas estamos usando. São 3: , e . E temos 4 variáveis na função: . Segundo o Teorema de Buckingham Pi, o número de grupos adimensionais ( ) que vamos formar é igual ao número de variáveis menos o número de dimensões básicas, ou seja, .

Passo 4

Escolhemos três variáveis repetidas que são independentes e contêm todas as dimensões básicas. Pelo enunciado, vamos usar e como variáveis repetidas.

Passo 5

Agora, vamos formar o grupo adimensional Pi = T cdot n^a cdot D^b cdot mu^c . Esse grupo relaciona as variáveis não repetidas com as repetidas. A única variável que resta é a força de tração .
Queremos que:
Precisamos encontrar os expoentes de forma que seja adimensional.

Passo 6

Vamos igualar as dimensões:
[M L T^-2] cdot [T^-1]^a cdot [L]^b cdot [M L^-1]^c = [1]
Simplificando:
M^1 + c cdot L^1 + b - c cdot T^-2 - a = 1
Igualando os expoentes a zero:
1 + c = 0 1 + b - c = 0 -2 - a = 0
Resolvendo:
c = -1 1 + b - (-1) = 0 Rightarrow b = -2 -2 - a = 0 Rightarrow a = -2

Passo 7

Substituindo os valores de Pi = T cdot n^-2 cdot D^-2 cdot mu^-1 na expressão de Pi = Tmu D^2 n^2 :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

Os parâmetros adimensionais sugeridos são:
Pi = Tmu D^2 n^2

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